微积分入门
一.微商（导数）
1.用来分析变化的工具 2.斜率=dy/dx
3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b 4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限
5.极限的模式：?lim(x→a)f(x) 不存在（如lim(x→a)1/x) ?lim(x→a)f(x)存在，但不 是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1)) ?lim(x→a)f(x)存在，是f(a). 6.求导公式：lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h 二．导函数
1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f ’(x)=lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx 2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y 3.求导基本公式：?p=C p’=0(p为常数）?(px)’=p ?{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x) 4.常用求导公式：?（x^n)’=lim(h→0)((x+h) ^n-x^n)/h=n*x^(n-1) ?{f(x)*g(x)}’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x) ?y=sinx y’=cosx ; y=cosx y’=-sinx ④y=e^x y’=e^x ; y=Lnx y’=1/x
⑤{f(x)/g(x)}’=(f ‘(x)*g(x)-f(x）*g’(x))/g^2(x) 5.y=f(x)的一阶微商f’(x)=dy/dx=lim(dx→0)(f(x+dx)-f(x))/dx 二阶微商f’’(x)=df ‘(x)/dx?d^2*y/d*x^2 n阶微商
?f(n)（x)=df?(n?1)(x)/dx=d^n*y/d*x^n
?? vx=dx/dt=x ; ax=dvx/dt=v=d^2x/dt^2=x 三．求导规则和公式 1.函数y=f df
?1
?1(x)是y=f(x)的反函数，由x和y的互反关系，易得
(x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f ‘(y)
2.如果y=f(u),u=g(x），则复合函数y=f(g(x))的导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f ‘(u)*g’(x)
3.如果y与x的函数关系由参数方程y=y(t),x=x(t)给出，则有： dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y/x
4.对于两个函数u(x),v(x)的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得 的d[u(x)+&-v(x)] / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)
5.对于两个函数u(x),v(x)的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得 d[u(x)v(x)]/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v ‘(x)+v(x)u ‘(x) 四．导函数的基本性质
1.[af(x)] ‘ =af ‘(x) 2.[f(x)+g(x)] ’ =f ‘(x)+g’(x)
1&2?[af(x)+bg(x)] ’ =af ‘(x)+bg ‘(x) (a,b为常数） 3.[f(x)*g(x)] ‘=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
??函数积求导的方法推导：
[f(x)*g(x)] ‘=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x) ?推导：[f(x)*g(x)] ‘=lim(h→0)[{f(x+h)g(x+h)}-{f(x)g(x)}]/h =lim(h→0)[{f(x+h)-f(x)}*g(x+h)+f(x)*{g(x+h)-g(x)}] /h =f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
4.[(x+b)^n]’=n(x+b)^(n-1) 5.[(ax+b)^n]’=an(ax+b)^(n-1) 五.二项式定理（展开(x+h)^n) 1.(x+h)^n=x+C1nxnn?1nxh+C2n?2nh2+.......+Cnhn
?.nCk表示“从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式）
如 nC1=n. 2.(x+h)^1=x+h → 1 1
(x+h)^2=x^2+2xh+h^2 → 1 2 1 (x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 → 1 3 3 1 (x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4→ 1 4 6 4 1
（系数）杨辉三角 3.(x?1)?=
?(?!/(k!(x?k)!)xk
?(1?x)?1=1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+......
11/2(1/2?1)1/2==1+x+x^2+...... 1?x(1?x)?21*2系数?(??1)...(??k?1)
1*2...k函数x的导数：(x?o)??x???x??1o?...??x?/?x??x??1?...（最初比） 令o=0,得最末比（流数）?导数?x??1 & 反流数（1/?+1）x六．使用导数绘制图形
例1：绘制y=2x^3+3x^2-12x+6的图像 y ’ =6x^2+6x-12=0
X1=-2 →ymax=26 x2=1 →ymin=-1 x f ’(x) f(x) ... + ↑ -2 0 26 ... - ↓ 1 0 -1 ... + ↑ ??1?
要点：?求导找到极值点 ?求极值点间的增减趋势
例1图
例2：判断曲线凹凸的方法→求二次微分f ’’(x)的正负 下凸→切线斜率增大→f ‘(x)为增函数→f ‘’(x)>0 上凸→切线斜率减小→f ‘(x)为减函数→f ‘’(x)<0
凹凸性增减表（f(x)=x^3-3x f ‘(x)=3x^2-3) x f ’(x) f ‘’(x) f(x) ... + - ↑ -1 ... 0 - 2 - - ↓ 0 - 0 0 ... - + ↓ 1 0 + -2 ... + + ↑ 增加上凸 减小上凸 减小下凸 增加下凸
例2图
由上凸→下凸拐点坐标（0 , 0）拐点处切线:y= - 3x
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d f ’(x)=3ax^2+2bx+c 七．积分（面积）与导数（斜率）的关系 1.积分是导数的逆向运算，即f(x)=(d/dx) 导数(x^n)’=? 积分（?)’=nx^(n-1)
?x0f(t)dt(关于t求f(t)积分）
?为积分符号（Summation合计)
2 2.对f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如xdx=(1/3)x^3+C(C为积分常数）
? 求导函数（导数算式）+初始条件（信息）? 基础函数（原函数） 3.
??af(x)?bg(x)?dx?a?f(x)dx?b?g(x)dx?aF(x)?bG(x)
??af(x)?bg(x)?dx?a?f(x)dx?b?g(x)dx?aF(x)?bG(x)
证明：设F’(x)=f(x) , G’(x)=g(x)
[aF(x)+bG(x)] ’=aF’(x)+bG’(x)=af(x)+bg(x)?
32(ax?bx?cx?d)dx 例：?32 =axdx?bxdx?cxdx?ddx????
=(a/4)x^4+(b/3)x^3+(c/2)x^2+dx+K(K为积分常数） 4.不定积分的原函数有无数个
证明：F(x)和G(x)均为f(x)的不定积分
F’(x)=f(x) g’(x)=f(x)?(F(x)-G(x))’=F’(x)-G’(x)=0?F(x)-G(x)=C 八．1.定积分
?babf(x)dx?F(x)?F(b)?F(a)（从a到b )
a ?.?.定积分的结果不是函数，而是常数
??x与dx的最大区别在于是否引入了极限的概念 2.定积分的性质 ? ? ? ④
???f(x)??g(x)?dx???abbaf(x)dx???g(x)dx
ab?aabf(x)dx?0 f(x)dx???f(x)
ba?a?bacbcbbf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)???F(x)???F(c)?F(a)???F(b)?F(c)??F(x)acaca
nn?1 ⑤(ax?b)dx?(1/a(n?1))(ax?b)?C
?3.常用初等函数积分公式
nn?1 ?xdx?(1/n?1)x?C(n??1)
? ?sinxdx??cosx?C ?cosxdx?sinx?C
xx ④edx?e?C
??? ⑤(dx/x)?Inx?C 九．
?
lim(n→0)长方形1+长方形2+...+长方形n =lim(n→0)宽*（长1+长2+...+长n）
=lim(n→0)宽*?长(n)=lim(n→0)((b-a)/n){f(x1)+f(x2)+...+f(xn)} 1.
.S1
S1=lim(n→0)((b-a)/n)
S2
?f(xk?0n?1k) S2=lim(n→0)((b-a)/n)?f(xk)
k?1n 如果长方形宽无限缩小，那么S1?S2
?f(k)?f(a)?f(a?1)?...?f(b)
k?a2
(k/n)(1/n)?(1/n^3)lim(n?0)k??2k?0k?0n?1n-1b2.例：求函数f(x)=x^2在[0 ，1]之间，函数图象与x轴围成的图形面积 S=lim(n→0)
=lim(n→0)(1/n^3)((n-1)n(2n-1)/6)=lim(n→0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3 公式：
?k2?k?0n?1(n?1)n(2n?1) f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)^2
6十．定积分的推导
S?lim(?x?0)?f(xk)?xk?0n?1 ?
f(x)?lim(?x?0)F(x??x)?F(x)
?x S=lim(?x→0)[(F(xn)-F(xn-1))+(F(xn-1)-F(xn-2))+...+(F(x1)-F(xo))] =F(b)-F(a) =F(xn)-F(x0)