?S=S(x+?x)-S(x) & ?S=f(x)?x?S’(x)=f(x) 对S(x),由S’(x)=f(x)得：S(x)=?f(x)dx=F(x)+C
当x=a时：S(a)=0 S(a)=F(a)+C=0 ? S(x)=F(x)-F(a) 当x=b时:S=F(b)-F(a)
面积函数：F(x)=?f(t)dt?
0x微积分的基本定理：f(x)=(d/dx)?f(t)dt
0x证明：设f(x)和其产生面积S(x) dS(x)=f(x)dx ?(d/dx)S(x)?f(x) ?S(x)? ??x0f(t)dt
dxf(t)dt?f(x) ?0dx十一．积分所求面积为负：?f(x)值为负 ?积分方向相反（F(x)与F(x)） 例1：若f(x)=(x-1)(x+1),求函数y=f(x)与x轴围成的部分面积
b
aab
?1?1(x?1)(x?1)dx（负）→??f(x)dx
?11 S??F(x)
141?(?x3?x)? ?1?1331 例2：求y=(x-1)(x-2)(x-3)和x轴围成的图形面积 S??(x?1)(x?2)(x?3)dx???(x?1)(x?2)(x?3)dx
1223 =1/4+1/4=1/2
十二．1. 二次函数图象与x轴所围面积公式（y?(x??)(x??)) S???f(x)dx?????x??2?(???)x???dx
? =??x3??(???)?x2?????x?
?3???2???1?1?????? =1(???)3?1(???)?2?2????2
66?? 2. S????f(x)?g(x)?dx
?
2
例：求f(x)=x^2, g(x)= - x^2+2x+4所围成的图形面积
22S??(x?(?x?2x?4))dx?9 ??1
??十三．1.换元积分
若x=g(u) , 则dx=g ‘(u)du ,则 2.分步积分
由d(uv)=udv+vdu可得：udv?uv?vdu
?f(x)dx??f(g(u))g'(u)du
??
十四.
1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量展开
在x=xo附近可以把函数y=f(x)展开为泰勒级数
f(x)??1(n)1f(xo)(x?xo)n?f(xo)?f'(xo)(x?xo)?f''(xo)(x?xo)2?...
2!n?0n!? (1?x)n?1?nx?n(n?1)2!x2?... (x<<1) sinx?x?x3x2 133!?... cosx?1?2!?... tanx?x?3!x?... ex?1?x?122!x?...(x<<1) 2.物理公式中的微积分
?F=ma→F?md2xdt2(位移二次求导得a）
g?md2 ?mxdxdt2(加速度） →(关于t求积分） mdt（速度）?mgt?C?mgt mx(位移）=(1/2)mgt^2+D
设t=0时，x=0, 则：mx=(1/2)mgt^2 → x=(1/2)gt^2 ?以初速度Vo将球斜向上抛出
水平方向（x）: F(x)=0 → x=vxt?D?vxt x?v1xt?y??2gt2?v?1xxyt?y?2g(v)2?vy(v) xx =?12ax2?bx(运行轨迹） vdx?x?dt?x advxx?dt?v?d2x??x?dt2?x →