旋转液体物理特性的测量
1．背景及应用
早在力学创建之初,就有牛顿的水桶实验,牛顿发现,当水桶中的水旋转时,水会沿着桶壁上升。旋转的液体有一些独特的物理特征。如盛有液体的圆柱形容器绕其圆柱面的对称轴匀速转动时,旋转液体的表面将成为抛物面；通过旋转液体，可以分离不同比重的液体等等。
根据旋转液体的这些特性，产生了一系列的应用。如目前广泛应用的分离机等。图1给出了一种液体镜头，它在一个大容器里旋转水银。由于旋转液体的表面是一个理想的抛物面，同时水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。通常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，从而可以有效地降低大型望远镜的制造成本。
图1 大型望远镜的液体镜片
2. 实验原理
盛有液体的圆柱形容器绕其圆柱面的对称轴匀速转动时,旋转液体的表面将成为抛物面。抛物面的参数与重力加速度和旋转角速度有关，利用此性质可以测重力加速度；旋转液体的上凹面可作为光学系统加以研究,还可测定液体折射率等。
1）旋转液体表面公式
牛顿发现,当圆柱体中的水旋转时,水会沿着圆柱体壁上升。定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液体相对于参考系静止，任选一小块液体P，其受力如图2。下P(x,y) 则有：
F为沿径向向外的惯性离心力，mg为重力，N为这一小块液
体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N必然垂直于液体表面。在X?Y坐标
图2 实验原理图
Ncos??mg?0 Nsin??Fi?0 Fi?m?x
2tan??dydx??xg2
根据图2有： y??22gx?y0 （1）
2?为旋转角速度，y0 为 x?0 处的y值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。
2）用旋转液体测量重力加速度原理
在实验系统中，一个盛有液体半径为R 的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度?匀速稳定转动时，液体的表面形成抛物面，如图3。 设液体未旋转时液面高度为h ，液体的体积为：
V?πR2h （2）
因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：
V??R0y(2πx)dx?2π?(?x2g22?y0)xdx （3）
由（2）、（3）式得：
y0?h??R4g22 （4）
联立（1）、（4）可得，当x?x0?R/2时，y(x0)?h，即液面在x0处的高度是恒定值。
（1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度
如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差为?h，点（R,y0??h）在（1）式的抛物
线上，有y0??h??R2g22?y0，
得：g??R222?h 又??2π n60 ，则
g?πDn2227200??h （5）
式中D为圆筒直径，n为旋转速度（转/分）。 （2）斜率法测重力加速度
如图3所示，激光束平行转轴入射，经过BC透明屏幕，打在x0?R2的液面A点上，反射光点为C，A处切线与x方向的夹角为?，则?BAC?2?，测出透明屏幕至圆桶底部的距离H、液面静止时高度h，以及两光点BC间距离d，则tan2??求出?值。 因为 tan??dydx2dH?h，
??xg2 ，在x0?R2处
图3 实验示意图
有tan???R2?g2π n60
因为??，则
2?2π n?tan????60??R2?g?4πRn3600222?g2?2πDn3600222?g
g?2πD36002?tan? (6)
2或可作tan?~n 曲线，求斜率k，可得k?22πD36002?g2，求出g?2πD36002?k
3）抛物面焦距与转速的关系
旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律，若光线平行
于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。 根据抛物线方程（1），抛物面的焦距
f?g2?2 (7)
可以看到，不同的转速的抛物面的焦距是不同的。
3．实验目的
了解旋转液体测量重力加速度的基本原理，通过实验学习用旋转液体最高处与最低处高度差测量重力加速度和激光束平行转轴入射测斜率法求重力加速度的方法，并测量转速和液面形状及液面光学特性的关系。
4．实验仪器
FB805型旋转液体综合实验仪 仪器配备了半导体激光器、霍尔传感器结合单片机测量转动周期等技术。可用于测重加速度；测量焦距与液体折射率；研究测量转速和液面形状及液面光学特性的关系等。 实验仪器如图4所示。
1．激光器
2. 毫米刻度水平屏幕
3. 水平标线4. 水平仪 5. 激光器电源插孔 6. 调速开关 7. 速度显示窗
8. 圆柱形实验容器 9. 水平量角器
10．毫米刻度垂直屏幕 11. 张丝悬挂圆柱体 12. 实验容器内径R/2刻线
图4 实验仪器
（见底盘色点）（可自行标注）
5．实验内容与操作要点
1）调整旋转液体综合实验仪仪器调整
调整旋转液体综合实验仪仪器底座旋钮，观察水平仪，调整仪器的水平。 利用自准直法，调整激光器方向和位置，使其垂直指向实验容器内径R/2刻线。
2）高度差法测量重力加速度
改变圆桶转速n（转/分）6次，待液面稳定后，测量液面最高与最低处的高度。用旋转
液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度3）斜率法测重力加速度
将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底x0?R2处的记号，测出透明屏幕至圆筒底部的距离H、液面静止时高度
g
h。
改变圆桶转速n（转/分）6次，待液面稳定后，在透明屏幕上读出入射光与反射光点BC间距离d，根据公式tan2??4）验证抛物面焦距与转速的关系
将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情况。改变圆桶转速n（转/分）6次，记录聚焦点及液面最低点位置。
5）研究旋转液体表面成像规律（选做）
给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴在偏离光轴处射向旋转液体，经液面反射后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上下移动屏幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。
dH?h，求出tan?值。
6.数据记录及处理
表1 高度差法测量重力加速度数据记录表格
次数 转速n（转/分） 高度差?h (cm) g (cm/s) 21 2 3 4 5 6 表2斜率法测重力加速度数据记录表格 cm ,液面高度h?cm
屏幕高度H?次数 转速n（转/分） BC间距离1 2 3 4 5 6 d (mm)tan2??d H?h ? tan? g (cm/s) 2