第一章
4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f(a)和g(a)。f和g都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a，f(a)和g(a)中至少有一个不为零。不妨设g(0)?0,f(0)?0。当椅子旋转90°后，对角线互换，
f(π/2)?0,g(π/2)?0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证
明如下的数学命题：
已知f(a)和g(a)是a的连续函数，对任意a,f(a)?g(a)?0,且g(0)?f(π/2)?0，
f(0)?0,g(π/2)?0。证明存在a0，使f(a0)?g(a0)?0
证：令h(a)?f(a)?g(a),则h(0)?0和h(π/2)?0， 由f和g的连续性知h也是连续函数。 根据连续函数的基本性质，
必存在a0（0＜a0＜π/2）使h(a0)?0，即f(a0)?g(a0)?0 因为f(a0)?g(a0)?0，所以f(a0)?g(a0)?0
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第二章
7.
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章
5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设
q(x)?q0?kx (1)k是产量增加一个单位时成本的降低 ，
销售量x与价格p呈线性关系x?a?bp,a,b?0 (2) 收入等于销售量乘以价格p :f(x)?px (3) 利润r(x)?f(x)?q(x) (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出
r(x)??bp2?pa?kbp?q0?ka
当a,b,q0,k给定后容易求出使利润达到最大的定价p*为
p*?q0?kaa? 2?2kb2b6.根据最优定价模型 f(x)?px x是销售量 p是价格，成本q随着时间增长，q?q0??t,?为增长率，q0为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系x?a?bp,a,b?0.
利润u(x)?f(x)?q(x).假设前一半销售量的销售价格为p1，后一半销售量的销售价格为p2。
前期利润 u(p1)??0[p1?q(t)](a?bp1)dt 后期利润 u(p2)??T/2[p2?q(t)](a?bp2)dt 总利润 U?u(p1)?u(p2) 由
?U?U?0,?0可得到最优价格: ?p1?p2TT/2p1?1?T13?T[a?b(q0?)] P2?[a?b(q0?)] 2b42b4