A组
(时间：45分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和．已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )． A．13 B．35 C．49 D．63 解析 S7＝答案 C
2．(2011·合肥模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数
?1?
列??的前5项和为( )． ?an?
7?a1＋a7?7?a2＋a6?7?3＋11?
＝＝＝49. 222
A.C.
15
或5 831
16
B.
31或5 1615 8
D.
解析 若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1. a1?1－q3?a1?1－q6?
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
1－q1－q故an＝a1q
n－1
＝2
n－1
11?n－1，＝?. an?2??1?5?1×?1－
??2??31?1?1
所以数列??是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.
?an?2116
1－
2
答案 C
5x2
3．(2011·杭州模拟)两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是6，且a>b，则双曲线2－
2ay2
＝1的离心率e等于( )． b2A.
31513 B. C.13 D. 223
???a＝3，?a＝2，
?解析 由已知可得a＋b＝5，ab＝6，解得或??b＝2???b＝3
(舍去)．则c＝a＋b＝13，
22
c13
故e＝＝. a3
答案 D
4．设等差数列{an}满足3a8＝5am，a1>0，(Sn)max＝S20，则m的值为( )． A．14 B．13 C．12 D．11 26－5m
解析 设公差为d，则由3a8＝5am，得a1＝d，
2
6466*
由(Sn)max＝S20得a20>0，a21<0，d<0，代入解得 55答案 B 5．已知{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值是( )． A．65 B．67 C．68 D．56 解析 由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得：an＝2n－5(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝－2，不符合上式，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝ |－2|＋|－1|＋1＋3＋…＋15＝67. 答案 B 二、填空题(每小题5分，共15分) an－1 6．已知数列{an}满足an＝，a1＝1，则an＝________. 3an－1＋113an－1＋11 解析 取倒数：＝＝3＋， anan－1an－1 ?1? ∴??是等差数列， ?an? 11 ∴＝＋3(n－1)＝1＋3(n－1)， ana1∴an＝答案 1 . 3n－21 3n－2 ?an? ??n＋1? 7．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列?的前n项和是________． 解析 依题意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，故曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率k＝n·2n －1 －(n＋1)2n，切点为(2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)， a 令x＝0得an＝(n＋1)2n，即n＝2n， n＋1 ?an? ?的前n项和为：2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2. ∴? ?n＋1? 答案 2n＋1－2 8．我市民间刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案， 这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为f(n)＝________(n∈N*)． 解析 f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，… 则有：f(2)－f(1)＝4＝1×4， f(3)－f(2)＝8＝2×4， f(4)－f(3)＝12＝3×4， ……[来源:学*科*网] f(n)－f(n－1)＝(n－1)×4， n?n－1?2 ∴f(n)＝f(1)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]4＝1＋·4＝2n－2n＋1. 2答案 2n－2n＋1 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，设数列的前n项和为Sn，111 且，，成等比数列． a1a2a4(1)求数列{an}的通项公式及Sn； 11111111 (2)记An＝＋＋＋…＋，Bn＝＋＋＋…＋.当n≥2时，试比较An与Bn的大小． S1S2S3Sna1a2a22a2n－11?211 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由?， ?a2?＝a1·a4得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a. an?n＋1? 所以an＝na，Sn＝. 2 1?1?12111112?－1－(2)因为＝?，所以A＝＋＋＋…＋＝. n Sna?nn＋1?S1S2S3Sna?n＋1?因为a2n－1＝2n－1a，所以 1?n 1－??2?11111 Bn＝＋＋＋…＋＝· a1a2a22a2n－1a1 1－ 221?＝?1－. a?2n?2 12n 当n≥2时，2n＝C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn>n＋1，即1－ 11 <1－n，所以，当a>0时，An 当a<0时，An>Bn. 10．(2011·济宁模拟)已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足an＋Sn＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ ?1?2，数列{b}的前n项和为T，求证：当n≥2时，T<2n－1. nnn ?2－log2an?n (1)解 当n＝1时，a1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4－an)－(4－an－1)， 因此2an＝an－1， 1 所以数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列， 21?n－1?1?n－2 所以an＝2×??2?＝?2?. 1??2?n111?2(2)证明 bn＝?1＝＝，T＝? 2. n??n－2??2－?2－n??n22－log2k＝1k??2?? n11 法一 当n≥2时，Tn＝? 2＝1＋? 2， k＝1kk＝2k n n11 因为? 2 k＝2kk＝2?k－1?k n 又因为? k＝2 n n1111 ＝1－，所以? 2<1－， ?k－1?knnk＝2k 所以Tn＝1＋? k＝2 n 12n－1 <. k2n 法二 用数学归纳法 152n－136 ①当n＝2时，Tn＝1＋2＝，＝＝，所以当n＝2时不等式成立． 24n241112k－1 ②假设当n＝k(k≥2)时，1＋2＋2＋…＋2<， 23kk 2k－111111 当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋<＋， 223k?k＋1?k?k＋1?22k－12?k＋1?－11 要证＋<， k?k＋1?2k＋1111 只要证2－＋， 2<2－k?k＋1?k＋1 只要证 1111 ＝， 2<－?k＋1?kk＋1k?k＋1? 只要证(k＋1)2>k(k＋1)，即k＋1>k，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式成立， 2n－1 由①②知，当n≥2时，Tn<. n B组 (时间：30分钟 满分：35分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 3 1．(2011·金华模拟)已知数列{an}，an＝，前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是 2n－11( )． A．an与Sn都有最大值 B．an与Sn都没有最大值 C．an与Sn都有最小值 D．an与Sn都没有最小值 3 解析 画出an＝的图象， 2n－11 点(n，an)为函数y＝最大． 答案 C 2．设实数a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足14；④b4>32；⑤b2·b4＝256. 其中真命题的个数为( )． A．2 B．3 C．4 D．5 解析 若{an}是公差为d的等差数列，则{2an}是公比为2d的等比数列，所以①正确；因为a3>a1?公差d>0?公比q>1，所以②正确；a1＋a3＝2a2，由15?a2>2?b24－a1?13?911?＝2a2>4，所以③正确；1 2 2 311 图象上的一群孤立点，?，0???为对称中心，S5最小，a5最小，a62x－112