创新设计2012高考数学二轮专题复习试题：1-3-2（数列的综合应用(2)

答案 C

3．设a1，a2，…，a50是在－1,0,1这三个整数中取值的数列．若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中取零的项共有( )． A．11个 B．12个 C．15个 D．20个

解析 (a1＋1)＋(a2＋1)＋…＋(a50＋1)＝(a1＋a2＋…＋a50)＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107， ∴a1＋a2＋…＋a50＝39，故a1，a2，…，a50有11个取零． 答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

4．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81.若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?Sn＝________.

a

解析 由a1＝3，a4＝81，得q3＝4＝27，∴q＝3，

a1∴an＝3，∴bn＝log3an＝log33＝n.又b1＝log3a1＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴

1111

＝＝－. bnbn＋1n?n＋1?nn＋1

n

n

2

2

22

2

2

2

2

2

1?

?的前n项和

?bnbn＋1?

?

1??11??11??1－1?＝1－1＝n.

∴Sn＝?1－＋－＋－＋…＋

?2??23??34??nn＋1?n＋1n＋1答案

n

n＋1

5．等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a1>1，a2 009·a2 010－1>0，(a2 009－1)(a2

010－1)<0，给出下列结论：

①01成立的最大的自然数是4 018. 其中正确结论的序号为______(将你认为正确的全部填上)．

解析 根据已知可得a2 009>1.a2 010<1.又a1>1，故等比数列为递减数列，即01，a2 009>1，a2 010<1，故T2 009是Tn中的最大值，故③错误；④由于a2 009·a2 010>1，故a1a2…a4 018＝(a2 009·a2 010)2 009>1，而a2 010<1，故a1a2…a4 019＝(a2 010)4 019<1，因此Tn>1的最大整数n值为4 018.综上①②④是正确的． 答案 ①②④

三、解答题(本题10分)

6．(2011·安徽)在数1和100之间输入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝tan an·tan an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.

2

解 (1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则Tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，① Tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1，②

①×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤t≤n＋2)，得 (T2n)＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)， ∴an＝lg Tn＝n＋2，n≥1.

(2)由题意和(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1. 另一方面，利用tan 1＝tan[(k＋1)－k] ＝

tan?k＋1?－tan k

1＋tan?k＋1?·tan k

，

得tan(k＋1)·tan k＝tan?k＋1?－tan ktan 1－1.

所以Sn

n＋2

n＝?bk＝?[tan(k＋1)·tan k]

k＝1

k＝3

n＋2

＝? ?tan?k＋1?－tan k－1? k＝3

?tan 1?＝

tan?n＋3?－tan 3

tan 1

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