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2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
21．已知集合A?{x|x|?2,x?R}，B?{xx?1?0,x?R}，则A?B?________．
2．抛物线x2?8y的焦点到准线的距离是______________．
3．若(1?ai)i?2?bi，其中a、b?R，i是虚数单位，则|a?bi|?_________． 4．已知函数g(x)?2x，若a?0，b?0且g(a)g(b)?2，则ab的取值范围是_______． 5．设等差数列?an?满足a5?11，a12??3，?an?的前n项和Sn的最大值为M，则
lgM=__________．
6．若(a?x)8?a0?a1x?a2x2?...?a8x8（a?R），且a5?56，则a0?a1?a2?...?a8? _______________．
2??an1?17. 已知对任意n?N，向量dn??a?a,?n?14na??都是直线y?x的方向向量，设数列
n??*{an}的前n项和为Sn，若a1?1，则limSn?_____________．
n??8．已知定义在R上的单调函数f(x)的图像经过点A(?3,2)、B(2,?2)，若函数f(x)的反函数为f?1(x)，则不等式2f?1(x?2)?1?5的解集为 ．
9. 已知方程sinx?3cosx?m?1在x?[0,?]上有两个不相等的实数解，则实数m的取 值范围是____________．
10. 随机变量?的分布律如下表所示，其中a，b，c成等差数列，若E??是___________．
x 0 ?1 1
P(??x) b a c
11．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片
不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．
1，则D?的值 3??xQ?xP?yP,12. 在平面直角坐标系xOy中，点P(xP,yP)和点Q(xQ,yQ)满足?按此
??yQ??xP?yP,北京凤凰学易科技有限公司 版权所有@学科网
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规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若|OP|?m， |OQ|向量OP与OQ的夹角为?，其中O为坐标原点，则msin?的值为____________． 13. 设定义域为R的函数f(x)???|lgx|,x?0,??x?2x,x?0,2若关于x的函数
y?2f2(x)?2bf(x)?1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是____________．
14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
?an?，若an?2015，则n?________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC中，“sinA?
A．充分非必要条件 C．充要条件
?1?”是“A?”的??????????????（ ） 26B．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
?16．已知平面直角坐标系内的两个向量a?(1,2)，b?(m,3m?2)，且平面内的任一向
量c都可以唯一的表示成c??a??b(?,?为实数），则实数m的取值范围是（ ）
A．(??,2)
B．(2,??)
C．(??,??)
D．(??,2)????(2,??)
17．极坐标方程(??1)(???)?0（??0）表示的图形是??????????（ ） A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
18．在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四
棱锥V?ABCD的体积之比为?????????????????（ ）
A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
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19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△ABC中，已知2sin（1）求角C的大小； （2）若角A?
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD，PD?AD?2，?BAD?60?，E为BC的中点．
（1）求证：ED?平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．
P
D C
E A
B
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数
2A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2?6，求△ABC面积的大小.
f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)?参数，且a??0,x3，x?[0,24)，其中a是与气象有关的?a?2a?2x?141?．若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)． ?2?x（1）令t?2，x?[0,24)，求t的取值范围；
x?1??（2）求M(a)的表达式，并规定当M(a)?2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内
时，该市市中心的综合污染指数不超标．
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
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x2y2已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，点B(0,b)，过点B且
ab与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D，且2F1F2?F2D?0．
（1）求证：△BF1F2是等边三角形；
（2）若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆C的方程； （3）设过（2）中椭圆C的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列{an}中，a1?3，a2?5，{an}的前n项和为Sn，且满足
?Sn?Sn?2?2Sn?1?2n?1（n?3）．
（1）试求数列{an}的通项公式；
12n?1（2）令bn?，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn?；
6an?an?1?1?（3）证明：对任意给定的m??0,?，均存在n0?N?，使得当n?n0时，（2）中的Tn?m?6?恒成立．
2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1．{x?2?x??1或1?x?2} 2．4 3．5 4．?0,5．2 6．256 7．2 8．(0,4) 9．[3?1,1) 10．12．
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??1? ?4?5 11．472 91?3? 13．??,?2? 14．1030 2?2? 学科网( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资源网站！
二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，1?cos(A?B)?cos2C?1，
2因为A?B?C??，所以cos(A?B)??cosC，故2cosC?cosC?1?0，??（2分）
解得cosC??1（舍），或cosC?所以，C?1． ??????（5分） 2?3． ??????（6分）
（2）由正弦定理，
c?2R，得sinCcsin?3?4，所以c?4sin?3?23． ???（2分）
a?2R，得a?2， ????（4分）
6sinA?1又B?，所以△ABC的面积S?ac?23． ????（6分）
22因为A?，由
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
P （1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，
所以，BD?2，DE?BC， ??????（1分） 因为AD∥BC，所以DE?AD，?????（2分） 又PD?平面ABCD，所以PD?DE，??（4分） 因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．?（6分）
D
（2）以D为原点，DA，DE，DP所在直线
E A 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
B
由（1）知平面PAD的一个法向量为n1?(0,1,0)，
又B(1,3,0)，C(?1,3,0)，P(0,0,2)，E(0,3,0)， 所以CB?(2,0,0)，PE?(0,3,?2)，??（2分） 设平面PBC的一个法向量为n2?(x,y,z)，
?C
??n2?CB?0,?x?0,由?得? ??n2?PE?0,?3y?2z?0,取y?2，则z?3，故n2?(0,2,3)， ????（4分） 设n1与n2的夹角为?，
P z D E y B 227则cos??．????（7分） ??7n1?n21?7n1?n2C A x 所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为（2）解法二（图略）
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