龙泉中学2016届高三5月月考数学（理）参考答案
一．选择题： 1-5 BADCB 6-10 DCAAB 11-12 BA 二．填空题： 13．?0,2? 14．甲 15．22 16．
三．解答题：
(2n?1)10R
222117．解：（Ⅰ）在三角形中，?cosB?,?sinB?. …………2分
33ABAD在?ABD中，由正弦定理得, ?sin?ADBsinB又AB?2，?ADB??4，sinB?228.?AD?． …………5分 33（Ⅱ） ?BD?2DC,?S?ABD?2S?ADC,S?ABC?3S?ADC, 又S?ADC??S?ABC?S?ABD42，?S?ABC?42， …………7分 31?AB?BCsin?ABC,?BC?6， 211?AB?ADsin?BAD，S?ADC?AC?ADsin?CAD， 22sin?BADAC， ………9分 ?2?sin?CADAB[来源:Z&xx&k.Com]S?ABD?2S?ADC?在?ABC中，由余弦定理得AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC．
?AC?42，
sin?BADAC?2??42． …………12分
sin?CADAB118．解：（Ⅰ）语文成绩特别优秀的概率为p1?P(X?135)??1?0.96???0.02…………1分
2
3 数学成绩特别优秀的概率为p2?0.0016?20??0.024 …………3分
4语文成绩特别优秀人数为500?0.02?10人，
数学成绩特别优秀人数为500?0.024?12人 …………5分 （Ⅱ）语文数学两科都优秀的6人，单科优秀的有10人， X所有可能的取值为0，1，2，3
321C10C10C327 P(X?0)?3?,P(X?1)?36?,
C1614C1656?13C10C6215C61P(X?2)??,P(X?3)??, …………10分 33C1656C1628分布列略 …………11分
数学期望E(X)?0?3271519…………12分 ?1??2??3??145656288
6
19．解：（Ⅰ）因为平面PBC?平面ABCD，底面ABCD是菱形，?ABC?60?，
故AB?BC?AC?PC?PB?2取BC中点O，则AO?BC，PO?BC,PO?AO
以O为坐标原点，OP为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，O(0,0,0)，
A(0,0,3),B(0,?1,0),
C(0,1,0)P(3,0,0),D(0,2,3),E(31…………2分 ,,0)22
????????（Ⅰ）PD?(?3,2,3)，AC?(0,1,?3)，
?????????????????则PD?3?4?3?10，AC?1?3?2，PD?AC?2?3??1
????????PD?AC?110?设异面直线PD与AC所成角为?,cos????? ??????20210PDAC10…………6分
20
(Ⅱ)设存在点F，使平面BFD与平面APC所成的角为90?，
????????????????设E(a,b,0)，因为P,C,F三点共线，PF??PC，PF?(a?3,b,0)，PC?(?3,1,0)
所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为 所以，a?(1??)3,b??，F((1??)3,?,0)，
??????m1?BD?0??3y?3z1?0设平面BFD的一个法向量为m1??x1,y1,z1?，? ??1????m?BF?0(1??)3x?(??1)y?0???11?1??12???1?,3,?3?．m1?()?12 令y1?3，m1??…………8分
??1???1?
?????m?AP?0??2?3x2?3z2?0 设平面APC的一个法向量为m2??x2,y2,z2?，? ?????????3x2?y2?0?m2?PC?0? 令x2?1，m2?1,3,1．m2?1?3?1?5,又m1?m2?分
????1??1…………10?3?3???1??1??1m?m??1 若平面BFD与平面APC所成的角为90?，则cos90??12?， m1m2??125?()?12??1??1?0，即???1，此时E(23,?1,0)，点F在CP延长线上， ??1 所以，在PC边上不存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90? …………12分
x2222220．解：解法一：（Ⅰ）将y?x?2代入椭圆方程2?y2?1，得(a?1)x?4ax?3a?0，
a 故
?直线y?x?2与椭圆有公共点，???16a4?4(a2?1)?3a2?0，得a2?3，?a?3 ………3
7
分
又由椭圆定义知PF1?PF2?2a，故当a?3时，PF1?PF2取得最小值，
x2 此时椭圆C的方程为?y2?1． ………………4分
3（Ⅱ）设A(x1,y1),B(?x1,y1),Q(x0,y0)，且M(0,m),N(0,n)，
?kQA?kQM，?y0?y1?y0?m，即y0?m?x0(y0?y1)，
x0?x1x0x0?x1?m?y0?x0(y0?y1)x0y1?x1y0xy?x1y0=．…………6分 同理可得n=01．………7分
x0?x1x0?x1x0?x1x0y1?x1y0x0y1?x1y0x02y12?x12y02， ………………9分 ?mn???22x0?x1x0?x1x0?x12x02x0x12x122222?y0?1，?y1?1，?y0?1?，y1?1?， 又33332x0x122x0(1?)?x1(1?)x02?x1233?mn??2?1 则mn为定值1．……………12分 222x0?x1x0?x12解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作F1关于直线y?x?2的对称点F1?， 连结F1?F2交直线于点P时，PF1?PF2取得最小值，
此时满足PF1?PF2?PF1??PF2?F1?F2?2a． ………………1分
设点F1(?c,0),F2(c,0)，可求得点F1(?c,0)关于直线的对称点F1?的坐标为??2,?c?2?，
?F1?F2?(?2?c)2?(?c?2)2?2a，即2c2?8?2a， ………………3分
x2?y2?1．………………4分 又c?a?1，解得a?3，此时椭圆C的方程为3（Ⅱ）同解法一． 21．解：
2228
22． (1) ?PA为圆的切线??PAD??ABD，?AC平分?DAB??BAC??CAD
??PAD??DAC??BAC??ABC??PAQ??AQP?PA?PQ
22?PA为圆的切线 ?PA?PD?P?BPQ?PD?P．B ………………5分
(2) ??PAD??PBA?PBA?PAPB98??PB??PA2?PD?PB?PD?， ADAB29810?AQ?DQ?PA?PD?2??． ………………10分
9923．解：（Ⅰ）C1的极坐标方程为??2cos?． ………………3分
9
C2的直角坐标方程为x2?y． …………………5分 （Ⅱ）设射线l：y?kx(x?0)的倾斜角为?，则射线的极坐标方程为???，
且k?tan??(1,3]，联立????2cos?,得|OA|??1?2cos?，………7分
??????cos2??sin?,sin?联立?得|OB|??2?， ………………9分 2cos?????所以|OA|?|OB|??1??2?2cos??sin??2tan??2k?(2,23]， 2cos?即|OA|?|OB|的取值范围是(2,23]．………………10分 24．（Ⅰ）∵
22 ?x?3x??x?3x2?f??x1??x2???112??f?x1???f?x2??????x1??x2??3??x1??x2?????2????22????x1?x2??0 ????? 2?1?x12?2??x1x2?????1x??x???x2????121x2??x22∴f?λx1+μx2??λf?x1?+μf?x2? ………………5分
2（Ⅱ）∵f?x1??f?x2??x12?3x1?x2?3x2?x1?x2x1?x2?3
∵0?x1,x2?1，∴0?x1?x2?2，∴?3?x1?x2?3??1，∴x1?x2?3?3，∴使
f?x1??f?x2??Lx1?x2恒成立的L的最小值是3． ………………10分
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