限时集训(三十一) 数列的综合问题
(限时：50分钟 满分：106分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)
1. 等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值( ) A．2 C．8
B．4 D．16
2
2．设项数为8的等比数列的中间两项与2x＋7x＋4＝0的两根相等，则数列的各项相乘的积为( )
A．64 C．32
B．3 D．16
3．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )
A.2 C．2
B．4 1 D.
2
*
4．(2013·泉州模拟)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是( )
A．9 C．11
B．10 D．12
*
5．(2013·杭州模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N)使得 aman＝4a1，15
且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值是( )
mn7A. 4C.25 6
B．1＋25 D.
3
5 3
6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn＝(21n－n－5)(n＝1,2，?，12)，按此预测，在本年度内，需求量
90超过1.5万件的月份是( )
A．5、6月 C．7、8月
B．6、7月 D．8、9月
n2
1
7．数列{an}的通项an＝n?cosA．470 C．495
2
??
2
nπ
3
－sin
2
nπ?3?
?，其前n项和为Sn，则S30为( )
B．490 D．510
*
8．(2013·株州模拟)在数列{an}中，对任意n∈N，都有称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；
②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；
an＋2－an＋1
＝k(k为常数)，则
an＋1－an④通项公式为an＝a·b＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( ) A．①②
B．②③ C．③④ D．①④
n二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
1a9＋a10
9．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________
2a7＋a810．(2013·安庆模拟)设关于x的不等式x－x<2nx(n∈N)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
11．函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
12．(2013·丽水模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2
＋a5＝2am，则m＝______.
13．已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,2a4
＝b3，且存在常数α，β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则α＝____.
14．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为
β
2
2
2
*
n＋49
10
(n∈N)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是
*
指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．
三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分) 15．设同时满足条件：①
bn＋bn＋2
2
≥bn＋1；②bn≤M(n∈N，M是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉
*
文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝
(1)求数列{an}的通项公式；
aa－1
(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．
?1?2Sn(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列??为“嘉文”数列．
an?bn?
2
16．已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，an，bn＋1成等比数列．
(1)求数列{bn}的通项公式；
b2n＋1
(2)设Sn＝＋＋?＋，试比较2Sn与2－的大小．
a1a2anan＋1
1
1
1
3
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2knan，求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)设Q＝{x|x＝kn，n∈N}，R＝{x|x＝2an，n∈N}，等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110 答 案 [限时集训(三十一)] 1．D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D 1 9．解析：∵a1，a3,2a2成等差数列， 2∴a3＝a1＋2a2. 令等比数列{an}的公比为q，则有 * * 2 a1q2＝a1＋2a1q. 又数列{an}中的各项都是正数， ∴q＝1＋2q， 解之得q＝1＋2(q＝1－2舍去)， 2 a9＋a10a1q8＋a1q9q2＋q3∴＝＝＝3＋22. a7＋a8a1q6＋a1q71＋q 4 答案：3＋22 10．解析：由x－x<2nx(n∈N)， 得0 2 2 * 答案：10 100 11．解析：依题意得，函数y＝x(x>0)的图像在点( ak，ak)处的切线方程是y－ak＝2ak(x－ak)． 111 令y＝0得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列， 222 2 2 2 ?1?k－15－k所以ak＝16·??＝2， ?2? a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 答案：21 12．解析：设等比数列{an}的公比为q，因为Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6 a11－q9a11－q3a11－q6成等差数列，所以q≠1，此时2S9＝S3＋S6即为2×＝＋， 1－q1－q1－q1311336 解得q＝－(q＝1舍去)，所以a2＋a5＝a2＋a2q＝a2＝2am，即am＝a2＝a2q，故m＝8. 224 答案：8 13．解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，数列{bn}的公比为q，则由题意可得 2＋d＝q，??2 ?22＋3d＝q??d≠0，∴an＝2n，bn＝4 ， ??d＝2， ，解得? ?q＝4，? n－1 ∴等式an＝logαbn＋β即为(log 4－2)n＋ β－logα4＝0对每一个正整数n都成立， ??logα4－2＝0， ∴? ?β－logα4＝0，? ??α＝2， 解得? ?β＝2，? 10 ∴α＝2＝4. 答案：4 14．解析：由第n天的维修保养费为β2 n＋49 (n∈N)元，可以得出观测仪的整个耗资费用， * 由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值． 5