万有引力与天体运动讲义
［本章要点综述］
1.开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。
r3?k （K值只与中心天体的质量有关） 2T2.万有引力定律： F万?G?m1m2 2r （1）赤道上万有引力：F （g和a向是两个不同的物理量，） 引?mg?F向?mg?ma向 （2）两极上的万有引力：F引?mg
3.忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。
GMm2?mg?GM?gR(黄金代换) 2R4.距离地球表面高为h的重力加速度：
GMm?R?h?2?mg??GM?g??R?h??g??2GM?R?h?2
5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力 F万?(1)
GMm?F向 2rGMmGM?ma?a? （轨道处的向心加速度a等于轨道处的重力加速度g轨） 22rrMmv2GMmv2GM(2)G2?m得 ∴r越大，v ?m?v?2rrrrr(3)由GMmGMmGM22?m?r得 ∴r越大， ?m?r????r2r2r3(4)由
Mm4?2G2?m2rrT2得 ∴r越大，T
GMm4?2r3?2?? ?m??r?T?r2TGM??
6.中心天体质量的计算： 方法1：GM?gR2?M?gR2 （已知R和g） GGMv2r方法2：v? （已知卫星的V与r） ?M?rG23GM?r （已知卫星的?与r） 方法3：???M?r3G4?2r34?2r3方法4：T? （已知卫星的周期T与r） ?M?2GMGT?GM?v?rv3T?方法5：已知? （已知卫星的V与T） ?M?232?G4?r?T??GM??GM?v?v3 （已知卫星的V与?，相当于已知V与T） r方法6：已知??M???G???GM?r3?7.地球密度计算： 球的体积公式：V?4?R3 3?4?2r3?M?GT23??mM2?2?? 近地卫星 (r=R) 32G2?m()r??MM3?rGTrT???V?4?R3?GT2R3?3?8.发射速度：采用多级火箭发射卫星时，卫星脱离最后一级火箭时的速度。
运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度．当卫星“贴
着” 地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度。
第一宇宙速度(环绕速度）：7.9km/s。卫星环绕地球飞行的最大运行速度。地球上发射卫星
的最小发射速度。
第二宇宙速度（脱离速度）：11.2km/s 。 使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运
行，从地球表面发射所需的最小速度。
第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s。使人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外
的宇宙空间去，从地球表面发射所需要的最小速度。
［要点精析］
1、人造卫星
⑴万有引力提供向心力：
⑵同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转具有相同的周期 ①周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，
T＝24 h.
②角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度． ③轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内．
④高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的高度约为h=3.6×104 km.
⑤环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同．
2.卫星变轨和卫星的能量问题 ⑴人造卫星在圆轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道。 ⑵轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。 ⑶解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解 ①若 F供＝F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动． ②若 F 供＜F 求，供不应求——物体做离心运动． ③若 F 供＞F 求，供过于求——物体做向心运动．
卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的，可以通过加速(离心)或减速(向心)实现．
⑷速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星(或行AB星)越近速率越大．
⑸加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。
3.近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同： 1．轨道半径：r同>r近＝r物 2．运行周期：T同＝T物>T近 3．向心加速度：a近>a同>a物
4.双心问题
在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星． 它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为 M1 和M2，相距 L，求它们的角速度．
如图 ，设 M1的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径为 r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为ω，根据万有引力定律有：
1．双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等． (2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相
等；
(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L. 2．双星系统模型的三大规律： (1)双星系统的周期、角速度相同． (2)轨道半径之比与质量成反比．
(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关．
5.三星模型
宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．
附录：万有引力相关公式
1思路和方法:①卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, ② F心=F万 (类似原子模型) v22?MmGM2公式：G2=man，又an=，????2r?()2r， 则v=rTrrGMr3，T=2?
GMr33求中心天体的质量M和密度ρ
2?Mm2由G2==m?r =m()2rTrr4?2r3?恒量) (?M=22GTT??3?3?R?h3?()22GT远RGT近3M3?r3ρ=4(当r=R即近地卫星绕中心天体运行时)?ρ?323GRT?R3=?43?322
? （M=Vr） s?球=?球面=4?r s=?r (光的垂直有效面接收，球体推进
GT23辐射) s球冠=2?Rh
Mm4?2v22 ?m?R= m2R?m4?2n2 R 轨道上正常转： F引=G2= F心= ma心= mrRTMmv22地面附近： G2= mg ?GM=gR (黄金代换式) mg = m?v?gR=vRR第一宇宙=7.9km/s 题目中常隐含：(地球表面重力加速度为g)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。
Mmv2轨道上正常转： G2= m ? v?rRGM r【讨论】(v或EK)与r关系，r最小时为地球半径时，v第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度)；
T最小=84.8min=1.4h
①沿圆轨道运动的卫星的几个结论: v=
GMr，??GMr3，T=2?r3GM
②理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r最小时为地球半径、 最大的运行速度=v第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T最小=84.8min=1.4h ③同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极仍有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍) V同步=3.08km/s﹤V第一宇宙=7.9km/s ?=15o/h(地理上时区) a=0.23m/s2 ④运行速度与发射速度、变轨速度的区别
⑤卫星的能量:r增?v减小(EK减小 ⑦卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行 ⑥应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s2 月球公转周期30天 例题精讲 1. 对万有引力定律的理解 （1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 （2）公式表示：F= Gm1m2。 2r（3）引力常量G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。 ③G的通常取值为G=6。67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。④一个重要物理常量的意义：根据万有引力定律和牛 Mm2?2r3GM)∴2??k.这实际上是开普勒第三定律。它表顿第二定律可得：G2＝mr(2TrT4?r3明2?k是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时，它T具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，