只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。
（4）适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。 ②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。 ③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（此方法仅给学生提供一种思路） （5）万有引力具有以下三个特性：
①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。
③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。天体间的主要作用力就是万有引力了。
【例1】设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：
A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。
B、物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=C、物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=
GMmh2。
GMm 4R2答案D 〖总结〗（1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。 （2）F= 的距离。 （3）F=
Gm1m2。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间2rGm1m2适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能2r看为质点，故选项C的推理是错误的。 【例2】对于万有引力定律的数学表达式F=
Gm1m2，下列说法正确的是： r2A、公式中G为引力常数，是人为规定的。 B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。
C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。 D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 答案C
2.关于万有引力和重力的关系
地面上物体所受万有引力F可以分解为物体所受的重
力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F’。 其中F?GMm2?F?mr?
R2Mm 2R① 当物体在赤道上时，F、mg、F’三力同向，此时满足F’＋mg＝F ② 当物体在两极点时，F’＝0 ,F=mg=G③ 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。
－
【例3】 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×102 m/s2,赤道上重力加速度g取10m/s2 试问：
（1）质量为m kg的物体在赤道上所受的引力为多少？ （2）（2）要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？ 解析：（1）物体所受地球的万有引力产生了两个效果：一是使物体竖直向下运动的重力，一是提供物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同，有F引＝mg+F
-2
向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10)=9.804m(N)
（2）设地球自转角速度为ω，半径为R，则有a＝ωR，欲使物体完全失重，即万有引力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即mω’R＝F引＝9.804m，解以上两式得ω’＝17.1ω.
3.计算重力加速度
1、 在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。
M5.98*10242?11sg=G2=6.67*10*=9.8(m/)=9.8N/kg 32R(6730*10)即在地球表面附近，物体的重力加速度g＝9.8m/s。这一结果表明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。
2、 即算地球上空距地面h处的重力加速度g’。有万有引力定律可得：
2GMR2g'GMR2()g g’＝又g＝，∴＝，∴g’＝222R?hRg(R?h)(R?h)3 计算任意天体表面的重力加速度g’。有万有引力定律得： g’＝
GM'GM（M’为星球质量，R’卫星球的半径），又g＝， R'2R2∴
g'M'R2?()。 ＝MR'g4.估算中心天体的质量和密度
1 中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：G
Mm2?2()，∴M＝＝mrTr24?2r3 GT22 中心天体的密度
方法一：中心天体的密度表达式ρ＝
M33，V＝?R（R为中心天体的半径），根据前面MV43?3?r3的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体表面运行时，ρ＝。223GTGTR此时表面只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期
T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。
GMM3ggR2方法二：由g=2,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝
V4G?RGR地球的同步卫星（通讯卫星）
同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，同步卫星的运行方向与地球自转方向相同，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。
同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。
设地球质量为m?，地球的半径为R=6.4×10m，卫星的质量为m，根据牛顿第二定律
6Gm?m?R+h?2?2π?=m?R+h???
?T?222设地球表面的重力加速度g=9.8ms，则Gm?=Rg
R+h=3以上两式联立解得：
RTg3=4π2=4.2×107m22?6.4×106?×?24×3600?×9.8224×3.142m
同步卫星距离地面的高度为
h=?4.2×107－6.4×106?m=3.56×107m
注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。
地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。
赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运
4π2R?0.034ms2；而动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度a=2T绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，
Mm4π2它的周期可以由下式求出：G2=m2R
RTR3求得T=2π，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T
GM约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度a?=GM=9.8ms2远大于自转时向2R心加速度。
－
【例4】 已知引力常量G＝6.67×1011N·m2/kg2,重力加速度g＝9.8m/s2,地球半径R＝6.4×104m，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字）
解析：在地球表面质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的引力，有
2R29.8?（6.4?106）Mm24?kg?6?10kg G2＝mg ,得M?g－11G6.67?10R【例5】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体，要
确定该行星的密度，只需要测量
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度 C．飞船的运行周期 D．行星的质量 解析：“飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行”，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等，飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律：GMm2?2＝m()R，
TR2M4??R33?4?24??GT23，即行星的密度??由上式可知：
3?； 2GT上式表明：只要测得卫星公转的周期，即可得到行星的密度，选项C正确。
【例6】已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度g=9.8ms，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
[思路分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。
2GMm=mg ① 2RGMm?R+h?2?2π?=m?R+h??? ②
?T?2由①②两式得
RTg3h=3-R?4π2?3.56?107m又因为G22?6400?103???24?3600??9.8224?3.142m?6400?103m
Mm?R+h?2v2=m ③
R+h??由①③两式得
v=Rg?ms?3.1?103ms 37R+h6400?10?3.56?102?6400?103??9.82[答案]：h?3.56?107mv?3.1?10ms
23MmMm?2π?=mR+h[总结]：此题利用在地面上G2=mg和在轨道上G????两式联立2R?T??R+h?解题。
【例7】下面关于同步卫星的说法正确的是（ ） A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定
B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小
C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD
5.双星问题
【例8】两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L，求这两颗恒星的转动周期．
解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以