1．2．2组合
第一课时
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第
二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有
N?m1?m2???mn种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，
做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N?m1?m2???mn 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．
定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?中取出m元素的排列数，用符号
5．排列数公式：
n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素
m表示 AnmAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N?,m?n）
6阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1．
7．排列数的另一个计算公式：
m=Ann!
(n?m)! 8.提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． ．．
二、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mm?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素
中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．
例2．用计算器计算C10． 解：由计算器可得
7
例3．计算：（1）C7； （2）C10；
477?6?5?4＝35；
4!10?9?8?7?6?5?47（2）解法1：C10?＝120．
7!10!10?9?87? 解法2：C10?＝120． 7!3!3!（1）解： C74?第二课时
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以求得，故我们．．．．．．．．．可以考察一下C4和
33的关系，如下： A433 组 合 排列
abc abd????abc,bac,cab,dab,dac,dbc,acb,adb,adc,bdc,bca,bda,cda,cdb,cbadba dcadcb3，A4acdbcdabd,bad,acd,cad,bcd,cbd,由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数
3可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C4个；② 对每一个组合的3个
33种方法．由分步计数原理得：
34＝
34不同元素进行全排列，各有
AAC?A33，所以，
3A4C?3A334．
（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn； ② 求每一个组合中m个元素全排列数（3）组合数的公式：
mm，可以分如下两步： Anmmmm，根据分步计数原理得：An＝Cn?Am． AmAnmn(n?1)(n?2)?(n?m?1) C?m?Amm!mn或Cmn?n!(n,m?N?,且m?n)m!(n?m)!0n 规定: C?1.
m?1m?1?Cn．
n?m三、讲解范例：
例4．求证：Cmn?证明：∵Cmn?n!
m!(n?m)!?m?1n!?
n?m(m?1)!(n?m?1)!m?1?Cn?m＝
m?1nm?1n!?
(m?1)!(n?m)(n?m?1)!n!
m!(n?m)!＝
∴Cmn?m?1m?1?Cn
n?mx?12x?3?Cx?1的值 例5．设x?N?, 求C2x?3 解：由题意可得：??2x?3?x?1 ，解得2?x?4，
?x?1?2x?3∵x?N?， ∴x当x?2或x?3或x?4，
?2时原式值为7；当x?3时原式值为7；当x?4时原式值为11．
第三课时
∴所求值为4或7或11．
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有C17种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C11种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有
111=136136（种）. C17?C111
11例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
C210?10?9?45（条）.
1?2(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
2A10?10?9?90（条）.
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
C3100?100?99?98= 161700 （种）.
1?2?312 (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C98种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有
12=9506(种). C2?C98(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2?C98种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有
1221+C2?C98=9 604 （种） . C2?C9812解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即
33=161 700-152 096 = 9 604 （种）. C100?C98说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 解：C6222?C4?C2?90．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？
解：问题可以分成2类：
第一类 2名男生和2名女生参加，有C5C4第二类 3名男生和1名女生参加，有C5C4依据分类计数原理，共有100种选法 22?60中选法； ?40中选法 31错解：C5C4C6211?240种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C4，C4所以，一共有C4+C4332112，C4?C6， ?C62112+C4?C6＝100种方法． ?C63?C6?100 解法二：（间接法）C103第四课时
组合数的性质1：Cnmn?m． ?Cn一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n?m个元素．因为从n个不同元素中取出m个
元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素．．．．的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：Cn法”与“剩法”是“一一对应”的思想 mn?m．在这里，主要体现：“取?Cn证明：∵Cnn?m?n!n! ?(n?m)![n?(n?m)]!m!(n?m)!m又 Cn?mn?mn!，∴Cn?Cn m!(n?m)!0说明：①规定：Cn?1；
nmn?m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化. 21②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当m例如C2002＝C2002 ④Cnx20012002?2001?＝C2002=2002；
?Cny?x?y或x?y?n．
mmm?12．组合数的性质2：Cn?1＝Cn+Cn．