一般地，从a1,ma2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn?1，这些组合可以分
为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,个元素与a1组成的，共有Cnmm?1a3,?,an?1这n个元素中取出m ?1
个；不含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m个元素
组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
mm?1证明：Cn?Cn?n!(n?m?1)?n!m n!n! ??m!(n?m?1)!m!(n?m)!(m?1)![n?(m?1)]! ?mmm(n?m?1?m)n!(n?1)!?Cn??1
m!(n?m?1)!m!(n?m?1)!∴Cn?1＝Cn+Cnm?1．
说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：（1）C8332323，；（2）C7?21；（3）C7?35． ?56,或C8?C7?C73456； ?C7?C8?C9nn?1n?2例12．（1）计算：C7n（2）求证：Cm?2＝Cm+2Cm+Cm解：（1）原式?C84．
565664?C8?C9?C9?C9?C10?C10?210； nn?1n?1n?2nn?1n?Cm)?(Cm?Cm)?Cm?1?Cm?1?Cm?2?左边 证明：（2）右边?(Cm例13．解方程：（1）C1313Ax?3． 10解：（1）由原方程得x?1?2x?3或x?1?2x?3?13，∴x?4或x?5，
x?1x?2x?32x?3；（2）解方程：Cx?2?Cx?2??C13?1?x?1?13?? 又由?1?2x?3?13得2?x?8且x?N，∴原方程的解为x?4或x?5?x?N??上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x（2）原方程可化为Cx?3x?2 ?4和x?5代入检验,这样运算量小得多.
?1313(x?3)!(x?3)!5Ax?3，即Cx?A?，∴， ?3x?310105!(x?2)!10?x!∴
11， ?120(x?2)!10?x(x?1)?(x?2)!2∴x?x?12?0，解得x?4或x??3，
?4是原方程的解 经检验：x
第五课时
例14．证明：Cmnpn?p?Cnp?Cm?Cm?p。
证明：原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，
p个同学参加数学兴趣小组，余下的n?p个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的m?p个同学中选出n?p个同学参加物理兴趣小
组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
例15．证明：CnCm0m1m?1m0mn?m）。 ?CnCm?…?CnCm?Cm?n（其中
证明：设某班有n个男同学、m个女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为m男同学0个，1个，?，
?1类：
m个，则女同学分别为m个，m?1个，?，0
个，共有选法数为
0m1m?1m0mCnCm?CnCm???CnCm。又由组合定义知选法数为Cm?n，故等式成立。
例16．证明：Cn证明：左边=Cn1i1123n?2Cn?3Cn?…?nCn?n2n?1。
23n1112131n=C1Cn?C2Cn?C3Cn???CnCn， ?2Cn?3Cn???nCn其中CiCn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班有n个同学，选出若
?1，2，?，n），
则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的n?1人是否参加，每
干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i分类（i人都有两种可能，所以组员的选法有2边=右边，等式成立。
例17．证明：Cn证明：由于i2123n?22Cn?32Cn?…?n2Cn?n(n?1)2n?2。
n?1种，所以选法总数为n2n?1种。显然，两种选法是一致的，故左
ii可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可重复）的Cn?Ci1Ci1Cn组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有n2选法；若组长和副组长不是同一个人，则有
n?1种
n(n?1)2n?2种选法。∴共有
n2n?1+n(n?1)2n?2?n(n?1)2n?2种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按
确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？ 答案是：8C42?8?4?2?2?64，这题如果作为习题课应如何分析 解：可分为如下几类比赛：
⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；
⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场； ⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场； ⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场. 综上，共有8C4四、课堂练习：
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）
2?8?4?2?2?64场 A．42 B．21 C．7 D．6
3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）
A．15对 B．25对 C．30对 D．20对
4．设全集U??a,b,c,d?，集合A、
B是U的子集，若A有3个元素，B有
2个元素，且
A?B??a?，求集合A、B，则本题的解的个数为 （ ）
A．42 B．21 C．7 D．3
5．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法
7．圆上有10个点：
（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；
（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形 8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n五边形有 条对角线 9．计算：（1）C15；（2）C610．A,B,C,D,E33?C84．
5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则
冠、亚军的可能情况共有多少种？
11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从a,b,c,d,e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合 答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15
7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2）n(n?3)/2
9. ⑴455； ⑵11. ⑴C1012. C41327 10. ⑴10； ⑵20 4?120； ⑵C10?210 234?C4?C4?C4?24?1?15 13. a,b,c,d； a,b,c,e； a,b,d,e； a,c,d,e； b,c,d,e 教学反思：
1注意区别“恰好”与“至少”
从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2特殊元素（或位置）优先安排
将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种
3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种 4、混合问题，先“组”后“排”
对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？ 5、分清排列、组合、等分的算法区别
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?
(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理
从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?