习题解析
3-1 设某高阶系统可用一阶微分方程近似描述：
?(t)?c(t)??r?(t)?r(t)， Tc0???0.5T。试证明系统的动态性能指标为
td?{0.693?lnT?ln(T??)}T；tr?2.2T；ts?{3?lnT?ln(T??)}T。
解：本题应用拉氏变换进行计算。r(t)?1(t)；
T???t/T1?s?1?s?11T??R(s)?；?(s)?e，C(s)?，c(t)?1?； ??sTTs?1s(Ts?1)sTs?1该系统的阶跃响应无超调，且c(?)?1，按定义计算系统动态性能指标。
c(td)?0.5，0.5T?(T??)e?td/T， td?{0.693?lnT?ln(T??)}T； c(t0.1)?0.1，c(t0.9)?0.9，tr?t0.9?t0.1；etr/T?9， tr?2.197T； c(ts)?0.95，0.05T?(T??)e?ts/T， ts?{3?lnT?ln(T??)}T；
其中
3-2 设系统的微分方程如下：
?(t)?2r(t)； 0.2c??(t)?0.24c?(t)?c(t)?r(t)。 (2) 0.04c(1)
试求系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。
G(s)?10/s；
单位脉冲响应：R(s)?1： C(s)?10/s， c(t)?10?1(t)；
2单位阶跃响应：R(s)?1/s：C(s)?10/s， c(t)?10t?1(t)；
25(2) G(s)?2， ?n?5rad/s，??n?3，??0.6，?d?4，??arccos0.6?53.13?；
s?6s?252?1/2(1??)?1.25，?n(1??2)?1/2?6.25，
?3t单位脉冲响应：R(s)?1： c(t)?6.25esin4t；
?3t?单位阶跃响应：R(s)?1/s： c(t)?1?1.25esin(4t?53.13)。
解：(1)
3-3 已知各单位负反馈系统对象的单位脉冲响应，试求系统闭环传递函数?(s)。
g(t)?0.0125e?1.25t；
?(2) g(t)?5t?10sin(4t?45)；
?t/3)。 (3) g(t)?0.1(1?e(1)
解：单位脉冲响应函数的拉氏变换就是传递函数。
0.0125；
s?1.255s?4(2) G2(s)?2?522；
ss?160.1(3) G3(s)?；
s(3s?1)(1)
G1(s)?
?1(s)?0.0125；
s?1.26257.071s3?33.284s2?80； ?2(s)?432s?7.071s?49.284s?800.1?3(s)?2。
3s?s?0.13-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为
c(t)?10?12.5e?1.2tsin(1.6t?53.1?)，
试求系统的超调量?p、峰值时间tp和调节时间ts。
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解：方法一，直接根据典型二阶系统单位阶跃响应计算?和?n；
??1?????nt2c(t)?10?12.5esin(1.6t?53.1)?10?1?esin(?1??t?arccos?)?， n2?1???????cos53.1??0.6，??n?1.2，(?n1??2?1.6)，?n?2；
?1.2t?方法二，先计算闭环传递函数，再计算?和?n；
100.6?1.6?0.8?(s?1.2)10?41?12.5???(s)R(s)； 222s(s?1.2)?1.6s?2.4s?4s2即得 2??n?2.4，?n?4；?n?2，??0.6； C(s)??p?exp(???/1??2)?9.5%；tp??/?d?1.9635秒；
ts?3/(??n)?2.5秒,??0.05；ts?4/(??n)?3.33秒,??0.02。
3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解：
0.4s?1
s(s?0.6)0.4s?1s?2.5； ?22s?s?12.5(s?s?1)z?2.5，?n?1，??0.5，?d?0.866；
2?n1??2/(z???n)]?2.733； r?z2?2??nz??n/(z1??2)?1.007；????arctan[?3?lnr???t?6秒。 tp??3.156秒；?p?r1??2enp?17.9%；ts??(s)??d??n用闭环主导极点近似计算。因s1,2??0.5?j0.866，且z1??2.5，满足近似计算的最低条件。
?3??；ts??6秒,??0.05。 tp??3.63秒；?p?exp(?)?16.3%2???d1??n3-6 已知控制系统的单位阶跃响应为
c(t)?1?0.2e?60t?1.2e?10t，
试确定系统的阻尼比?和无阻尼自振频率?n。
解：先计算闭环传递函数，再计算?和?n；
10.21.26001C(s)????2??(s)R(s)；
ss?60s?10s?70s?600s2600?n； ?(s)?2?22s?70s?600s?2??ns??n?n?106?24.495，??1.429。
3-7 设简化的飞行系统方框图如图3-5所示，试选择参数K1和Kt，使系统的?n
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?6，??1。
解：?(s)?R(s) K1 _ _ 25 s(s+0.8) Kts C(s) 图3-5 飞行系统方框图 25K1；
s2?(25K1Kt?0.8)s?25K12?n?25K1，2??n?25K1Kt?0.8； K1?1.44，Kt?0.311。
R(s) 3-8 分别求出图3-6中各系统的自然频率和阻尼比，比较他们的动态性能。 解：(a)
1 C(s) R(s) _ s2 _ s+1 1 C(s) R(s) 1 C(s) _ s2 s2 s+1 (a) (b) (c) 图3-6 习题3-8系统方框图 1， ?n?1，??0； 系统不稳定。 2s?1s?1(b) ?b(s)?2, ?n?1，??0.5； tp?2.42秒，??29.8%，ts?6.29秒。
s?s?113(c) ?c(s)?2， ?n?1，??0.5； tp?3.63秒，??16.3%，ts? ?6秒。
??ns?s?1?a(s)?3-9 控制系统如图3-7所示。
要求：在(1)?1?0，?2速度输入的稳态误差。
解：(1)
τR(s) _ 1S _ 10 C(s) S(S+1) τ2S 图3-7 习题3-9系统方框图 ?0.1，(2) ?1?0.1，?2?0时，计算系统的超调量、调节时间和响应单位
10s(s?2)，； ?(s)?e22s?2s?10s?2s?10?n?3.162，??0.3162，??n?1；
?p?35.1%；ts?3秒(??0.05)，ts?4秒(??0.02)；ess?0.2。
s?10s(s?1)(2) ?(s)?2，?e(s)?2；
s?2s?10s?2s?10?n?3.162，??0.3162，??n?1；
?(s)?满足使用闭环主导极点近似计算条件；
?p?35.1%；ts?3秒(??0.05)，ts?4秒(??0.02)；ess?0.1。
?0不可改变。要求说明：
3-10 已知系统的两种控制方案如图3-8所示，其中T(1) 在两种方案中，参数K1、K2和K3如何影响系统的动态性能？ (2) 比较两种结构方案的特点。
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R (s) _ K1 + _ (a) K2 C (s) s(Ts?1)R (s) _ K1 K3s + + (b) K2 C (s) s(Ts?1)K3s 图3-8 习题3-10系统方框图
解：(a)
s(Ts?K2K3?1)K1K2?(s)?，； e22Ts?(K2K3?1)s?K1K2Ts?(K2K3?1)s?K1K2K2K3s?K1K2s(Ts?1)(b) ?(s)?2，?e(s)?2；
Ts?(K2K3?1)s?K1K2Ts?(K2K3?1)s?K1K2?(s)?2a) ?n(1) 比较两方案的闭环传递函数和误差传递函数，有以下结论：
?K1K2/T，乘积K1K2调整自然频率，并改变响应速度输入的稳态误差； b) 2??n?(K2K3?1)/T，乘积K2K3调整阻尼比； c) 采用方案(b)时，K1/K3调整负实零点z1??K1/K3。
(2) 方案(b)具有负实零点有利于改善系统的动态特性，且响应速度输入的稳态误差比方案(a)的误差小 。
3-11 已知系统的特征方程如下，试用劳思稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
3s4?10s3?5s2?s?2?0
解：应用劳思稳定判据，
S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 3 10 4.7 -3.255 2 5 1 2 0 2 0 计算表首列系数变号2次，闭环系统不稳定。 应用赫尔维茨稳定判据
1030015103021500；??10?0；??12?0；???153?0；…
12302因△3<0，所以判断系统不稳定。
3-12 已知系统的特征方程如下，试求系统在S平面右半部的根数及虚根值。
s5?3s4?12s3?24s2?32s?48?0； 65432(2) s?4s?4s?4s?7s?8s?10?0；
5432(3) s?3s?12s?20s?35s?25?0。
(1)
解：劳思计算表依次如下，
(1) S 5
S 4
S 3
S 2
S 1
S 1
S 0
1
3 4 12 0 24 48
12 24 16 48 0 0
32 48 0
(2)
S 6 1 S 5 4 4S -5 3S 0 3S -20 2S -1.25 S 1 175 0S 10
-4
4 -5 0 -15 10 0 23
-7 -8 10 0 0
10 0
(3)
S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S 1 S 0
1 3 16/3 5 0 10 25
12 20 80/3 25 0 0
35 25 0
答案：(1) 首列系数不变号，无S平面右半部的根，有2个虚根；
s1,2 = ± j2，(s3,4 = -0.5± j2.3979，s5 = -2)。
(2)首列系数2次改变符号，在S平面右半部的有2个根，有2个虚根；
s1,2 = ±1.0398，s3,4 = ± j1.4426，s5 = -5，s6 = 1。
(3)首列系数不变号，无S平面右半部的根，有2个虚根；
s1,2??j2.2361，s3,4??1?j2，s5??1。
3-13 单位反馈系统的开环传递函数如下，
G(s)?试确定系统稳定时的K值范围。
解：系统的特征方程
S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 K(0.5s?1) 2s(s?1)(0.5s?s?1)s4?3s2?4s2?(K?2)s?2K?0
4 K+2 2K 0 2K 0 1 3 (10-K)/3 (20-10K-K2)/(10-K) 2K ?10?K?0?2由计算表得?20?10K?K?0?0?K?1.7082。 ?K?0?3-14 已知系统如图3-9所示，试用劳思稳定判据确定能使系统稳定的反馈参数τ的取值范围。
解：?(s)?3R(s) _ S+1 S 10 S(S+1) C(s) _ τS 图3-9 习题3-14系统方框图 10(s?1)；由劳思计算表得知，只需??0。 2s?(10??1)s?10s?1023-15 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求输入分别为r1(t)?2t和r2(t)?2?2t?t 100；
(0.1s?1)(s?5)50(2) G(s)?；
s(0.1s?1)(s?5)10(2s?1)(3) G(s)?22。
s(s?6s?100)(1)
时，系统的稳态误差。
G(s)?解：因输入信号是时间t的幂函数，应用稳态误差级数计算，很方便。
?(t)?2?2t，r2??(t)?2； r1(t)?2t，r1?(t)?2；r2(t)?2?2t?t2，r250?15s?s2(1) ?e(s)?，c0?0.04762，c1?0.01361，c2?0.00071；
1050?15s?s2t2?0.1225t?0.1239； e1ss(t)?0.0952t?0.0272；e2ss(t)?0.0476250s?15s2?s3(2) ?e(s)?，c0?0，c1?0.1，c2?0.02；
500?50s?15s2?s3
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