两端分别积分，得 或 其中
代回u=y/x，得原方程的通解为 将初始条件y(0)=1代入，得 C=1. 所以满足初始条件的特解为 线性微分方程
线性微分方程
这种微分方程的形式为： ，其中，p,q与y,y'无关，但可以与x有关.它对y与y'而言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。
当q=0时称为齐次线性微分方程；当q≠0时称为非齐次线性微分方程。 齐次线性微分方程的解法
齐次线性微分方程的形式为：
此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得： ，这就可以由我们前面所学的方法进行求解。
例题：求 的一般解。
解答：由此方程可得 ，故
因此该方程的一般解为： 非齐次线性微分方程的解法
非齐次线性微分方程的形式为：
这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程 的一般解 ，然后把c看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定c，使它能满足非齐次微分方程。
中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项： ，所以 中c作为x的函数代入微分方程就得到 .
所以只要 ，即 就可使非齐次线性微分方程得到满足，即 为所求的一般解。 上面我们说学的这种解法被称为Lagrange常数变易法。 例题：求解
解答：相应齐次线性微分方程 的一般解为： 把c看成x的函数代入得： 因此：c'=x(x+1) ∴
故： 就是非齐次线性微分方程的一般解。可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y\
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程 ，
再次积分，即可求出方程得通解。
例题：求方程y\的通解。 解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y\
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是 ，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。 例题：求方程 的通解。
解答：令y'=p. ，代入方程，得
分离变量后，得 积分，得 .即
再积分，即得原方程的通解： .
3.右端不显含x的方程：y\
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有 代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。 例题：求方程 的通解 解答：令 代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得 p =C1y 从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中） 线性微分方程解的结构
我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。
二阶线性方程的一般形式为
其中y\都是一次的，否则称为二阶非线性方程。 线性齐次方程解的结构
二阶线性齐次方程的形式为：
定理：如果函数 均是方程 的解，那末 也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。 线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。 问题：我们所求得的解 是不是方程的 通解呢？
一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。
定义：设 是定义在区间I的两个函数，如果 ，那末称此两函数在区间I线性相关，否则，即 之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。 为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。
定理：如果 是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末 就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。 线性非齐次方程解的结构
二阶线性非齐次方程的形式为：
对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 答案是肯定的。为此我们有下面的定理。 定理：设y是二阶线性非齐次方程 的任一特解，Y是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程 的通解。
我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下： 定理：设有线性非齐次方程 .如果 分别是方程 与方程
的解，那末 就是原方程的解。二阶常系数齐次线性方程的解法
前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二阶线性齐次方程的解法
二阶线性齐次方程的一般形式为： ，其中a1，a2为实常数。
我们知道指数函数eax求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使eax满足方程上面的方程。我们可令： ，代入上面的方程得： 因为eax≠0，所以：
这样，对于上面二次方程的每个根ρ，eax就是方程 的一个解。方程 就被称为方程 的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论： 1.特征方程有两个不等的实根的情形
设此两实根为 。于是 是齐次方程 的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程 的通解为：
其中c1，c2为实常数。 2.特征方程有重根的情形
此时特征方程的重根应为： ，于是只能得到 的一个特解： ，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为： .于是方程 的通解为:
3.特征方程有共轭复根的情形 设共轭复根为 ，那末 是方程 的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式： ，为此可以得到方程 的通解：
由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为： 1.对照方程 写出其特征方程： ； 2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2
3.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
例题：求方程 的通解.
解答：此方程的特征方程为：
它有两个不相同的实根 ，因此所求的通解为： 二阶常系数非齐次线性方程的解法
我们来学习二阶常系数线性非齐次方程 的求解方法.由前面我们知道线性非齐次方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次方程的通解之和。前面我们已知道对应齐次方程的通解的解法，现在的关键是怎样求得特解。 二阶常系数非齐次线性方程的解法
常系数二阶线性非齐次方程的一般形式为：
下面我们根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： （1）：设 ，其中μ为一常数， 若 为零次多项式，此时：
a):当μ不是特征方程的根时，可设 b):当μ是特征方程的单根时，可设 c):当μ是特征方程的重根时，可设 若 为一m次多项式，即：μ=0，此时
a):当a2≠0即μ=0不是特征方程的根时，可设
b):当a2=0，a1≠0时，即μ=0是特征方程的单根时，可设 c):当a2=0，a1=0时，即μ=0是特征方程的重根时，可设 例题：求方程 的一个特解 解答：对应的特征方程为
原方程右端不出现 ，但可以把它看作是 ，即μ=0 因为μ=0不是特征方程的根，所以设特解为 代入原方程，得
于是： 故所求的特解为：
（2）：设 或 ，其中a,μ,v为常数。 此时的特解为：
例题：求方程 的特解 解答：显然可设特解为：
代入原方程得：
由此得：
A=-1 从而原方程的特解是
十、无穷级数 级数的概念及其性质
我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念
设已给数列a1,a2,?,an,?把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+?+an+?称为无穷级数，简称级数.记作： 或 ，即： =a1+a2+?+an+?，数列的各项a1,a2,?称为级数的项，an称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，?，n项，?相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，?，Sn=a1+a2+?+an，? 这个数列的通项Sn=a1+a2+?+an称为级数 的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛： ，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。 例题：证明级数： 的和是1. 证明：
当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质
1.级数收敛的必要条件：收敛的级数 的通项an当n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数 虽然在n→∞时，通项 ，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数 收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数 ，也是收敛的，而且它的和是cS.如果 发散，那末当c≠0时 也发散。 3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 正项级数的收敛问题
对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项an≥0的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理