解答：设 ,则
， . .
解方程组 ，得驻点(1,1),(0,0). 对于驻点(1,1)有 ,故
B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0 因此， 在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1. 对于驻点(0,0)有 ,故
B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0 因此， 在点(0,0)不取得极值. 多元函数的最大、最小值问题
我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：
a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域； b)：求出驻点；
c)：结合实际意义判定最大、最小值.
例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。 解答：a)：先建立函数关系,确定定义域
求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方
最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:
,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞ b)：求驻点
解 得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知 z=-1
c)：结合实际意义判定最大、最小值
由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数
仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1). 从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数 ， 在约束条件
3x+4y-z=26
下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。 八、多元函数的积分学 二重积分的概念及性质
前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(ζ)上的有界函数：
(1)把区域(ζ)任意划分成n个子域(△ζk)(k=1,2,3,?,n）,其面积记作△ζk(k=1,2,3,?,n）；
(2)在每一个子域(△ζk)上任取一点 ，作乘积 ； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及 怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(ζ)上的二重积分.记作: 即： =
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dζ称为被积表达式,(ζ)称为积分区域.
关于二重积分的问题
对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分 在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(ζ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(ζ)上连续，那末二重积分 必定存在。 二重积分的性质
(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
(3).如果把积分区域(ζ)分成两个子域(ζ1)与(ζ2),即(ζ)=(ζ1)+(ζ2),那末:
(4).如果在(ζ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤
(5).设f(x,y)在闭域(ζ)上连续,则在(ζ)上至少存在一点(ξ,η),使
其中ζ是区域(ζ)的面积. 二重积分的计算法
直角坐标系中的计算方法
这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下： 或
在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？ 累次积分上下限的确定方法
我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(ζ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x轴)的直线,且此直线交(ζ)的边界不超过两点，那末称(ζ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(ζ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(ζ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:
关于累次积分上下限的取法如下所述:
(1).如果(ζ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(ζ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线
所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(ζ)的最左与最右点的横坐标a与b.
(2).如果(ζ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(ζ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(ζ)的最低与最高点的横坐标c与d. (3).如果(ζ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
(4).如果(ζ)既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分.
例题：求二重积分 ，其中(ζ)是由 所围成的区域。
解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者
先对y后对x积分： 极坐标系中的计算法
如果二重积分的被积函数和积分区域(ζ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式.
如果极点O在(ζ)的外部,区域(ζ)用不等式表示为R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下:
如果极点O在(ζ)的内部,区域(ζ)的边界方程为ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下:
如果极点O在(ζ)的边界上,边界方程为ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下:
有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。 注：直角坐标与极坐标的转换公式为：
例题：求 ，其中(ζ)是圆环a2≤x2+y2≤b2
解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。
把 ，dζ=ρdρdθ代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：
在对其进行累次积分计算：
三重积分及其计算法
二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。 三重积分的概念
设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V1),(△V2),(△V3),?,(△Vn),它们的体积分别记作△Vk(k=1,2,?,n).在每一个子域上任取一点 ，并作和数
如果不论△Vk怎样划分，点 怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数 在域(V)上的三重积分,记作：
即：
如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。
对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。 直角坐标系中三重积分的计算方法
这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。 直角坐标系中三重积分的计算公式为：
此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。
例题：求 ，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.
解答：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(ζ),它就是
平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域.
我们为了确定出对z积分限,在(ζ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z的直线,它与(V)上下边界的交
点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：
其中(ζ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：
再把(ζ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得： 柱面坐标系中三重积分的计算法
我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。
平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：
构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：
ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族， θ=常数：通过z轴的半平面族， z =常数：与z轴垂直的平面族.
因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。
柱面坐标系下三重积分的计算公式为： 此处我们不在举例。 九、常微分方程 微分方程的基本概念
在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：
某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子：
例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条
曲线方程
解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念
我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。
从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.
满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。
通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同. 可分离变量的微分方程与齐次方程
下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。
并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
可分离变量的微分方程 这种方程的形式为：
我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得 ，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。
其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有 ，即
这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。 例题：求方程 的通解。
解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得
两端分别积分，得 令 ，得
这就是该方程的通解。 齐次微分方程
这种微分方程的形式为：
它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：
令 ，则 ，y的微分方程就化成了u的微分方程 即：
这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。 例题：求方程 的特解。
解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得
分离变量后，得