9、如图，等边△ABC中， D为直线BC下方一点，满足∠BDC=90°，将点C沿直线BD折叠得到点E，连接DE、AE，交射线DB于点F.
A（1）求证：∠AEC=30°；
（2）请你猜想AE、CE、BF之间的数量关系，并证明你的结论. CB FD E10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB边上，OB=OC，点D在OC的延长线上，连接AD，点E在AD上，OE交AC于点F，OE=OC，∠ABC=∠CAD+30°，若OF=4，DE=3，求OD的长. D
C E
F
ABO
答案：
1、∠CDE=68° 2、∠DAC=100° 3、BF=4 4、CD=10 5、BE=85 6、sin ∠ADE=
1 27、AF=32或AF=52 8、BD=8 9、（1）略；（2）10、OD=7
23CE+BF=AE 3共底双等腰
接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。
共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。
模型一、如图，AB=AC，BD=DE，（1）求证：∠ABD=∠CDE；（2）延长ED交AB于F，求证：∠BDC=∠BFE。 证明：（1）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，
那么腰AB与腰BD的夹角∠ABD=∠ABC-∠DBE=α-β，
那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=∠ACB-∠DEB=α-β， ∴∠ABD=∠CDE。
（2）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，
那么腰AB与腰DE的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，
那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β， ∴∠BDC=∠BFE。
AA
F DD
E BEBCC
模型一变式、①如图，AB=AC，∠ABD=∠CDE，求证：BD=DE。 ②如图，BD=DE，∠ABD=∠CDE，求证：AB=AC。 AA
DD
EEBBCC
模型二、如图，点D为射线CA上一点，点E为BC上一点，AB交DE于F，若AB=AC，DB=DE， 求证：（1）∠ABD=∠CDE；（2）∠BDC=∠BFE。 证明：（1）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，
那么腰AB与腰BD的夹角∠ABD=∠DBE -∠ABC =β-α，
那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=∠DEB -∠ACB =β-α， ∴∠ABD=∠CDE。
（2）∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，
那么腰AB与腰DE的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，
那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β， ∴∠BDC=∠BFE。 DD
AA
FF
BBCCEE
模型二变式、①如图，AB=AC，∠ABD=∠CDE，求证：BD=DE。 ②如图，BD=DE，∠ABD=∠CDE，求证：AB=AC。 ③如图，AB=AC，∠BDC=∠BFE，求证：BD=DE。
④如图，BD=DE，∠BDC=∠BFE，求证：AB=AC。
D DDD
AAA AFF FF
BB CCEEBBCCEE
模型三、如图，点D为射线CA上一点，点E为射线CB上一点，若AB=AC，DB=DE，求证：∠ABD=∠CDE。 D
A
证明：∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC与BE共线， EBC那么腰AB与腰DB的夹角∠ABD=180°-∠ABC-∠DBE=180°-α-β，
那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角∠CDE=180°-∠ACB-∠DEB=180°-α-β， ∴∠ABD=∠CDE。
模型三思考：图中两个等腰三角形的底BC与BE共线，腰AC与腰腰DB的夹角为∠BDC，那么剩余的腰AB与剩余的腰DE在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰
D的夹角∠AFD，通过前面的方法可证∠BDC=∠AFD。
A
E
BC
F
典型例题赏析
例1：如图，等腰直角△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB上一点，连接CD、DE，若CD=DE，求证：BE=2AD.
AA
D DF ECECBB
例1解析：∵AB=AC，CD=DE，由共底双等腰，得∠BDE=∠ACD，过D作DF∥BC交AC于F，导角得∠CFD=∠DBE=135°，可得△CDF≌△EDB，∴BE=DF，由DF=2AD，∴BE=2AD。
例2：如图，△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE=CB，连接BE并延长交CA的延长线于点F，若AD=3，CF=7，求CD的长. FFF
AA
GG EEEDD BCBBCC 共底双等腰部分
例2解析：题目中已经具备了等边三角形ABC和等腰三角形CBE，并且两个等腰三角形还是共腰的双等腰，但是并不足以解决求CD的问题，所以我们在CF上取点G，连接BG，使得FG=BG，再构造出一个等腰△GFB，由CE=CB，形成共底双等腰，得∠GBC=∠FCE，再由题目中的等边三角形ABC，就出现了我们非常熟悉的△ACD≌△BCG，∴AD=CG=3，FG=CF-CG=7-3=4，由△ACD≌△BCG，∴CD=BG=FG=4。 例3：如图，在半⊙O中，AB为直径，C在半⊙O上，且AC?BC，当AB=4时，连接AC. （1）求AC的长；
（2）在BC上有一点D，当tan?CAD?1时，求AD的长； 3（3）在（2）的条件下，CD上有一点E，过E作EF平行AC交AD于F，连接BE、BF，若BE=BF，求AF的长.
A
CDFCEDOBAOB例3解析：由已知条件，很容易求出（1）AC=22，（2）AD=
85。 5（3）题目中已经具备等腰三角形BEF，延长EF交AB于P，∵EF∥AC，∴∠EPB=∠CAB=45°，过E作EM⊥AB于M，构造出第二个等腰三角形MEP，由共底双等腰得，∠BEM=∠FBP，过F作FH⊥AB于N，∴△EMB≌△BNF，∴FN=BM，设BM=k，则FN=k，由tan∠DAB=
1，∴AN=2k，BN=4-2k，∴EM=4-2k，2222∵BM=k，∴OM=2-k，连接OE，∵∠EMO=90°，∴在△OEM中，OE?OM?EM，
22?(2?k)2?(4?2k)2，∴k?AF=25?2。
强化训练习题
10?251（取加号时，k＞2，∴加号舍去），∵tan∠DAB=，∴52CFEDFEAPONMBPMB共底双等腰部
1、如图，等边△ABC中，D是BC的中点，P为射线AD上一点，若△BPA为等腰三角形，求∠BPC的
A度数.
BCD
2、如图，等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E．∠ABC的平分线BF，交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当∠EDC=30°，CF=4，求DH的长.
D
HA
F BCE