2015年高考不等式选讲专题复习
【知识要点】
一、绝对值不等式：
定理1 如果a, b是实数，则|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab≥0时，等号成立。
（绝对值三角不等式）如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
定理2 如果a, b, c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等
号成立。
二、几个著名不等式： 2a?ba2?b2?①平均不等式：?1，，当且仅当a?b时取\?\（a,b?R?ab???1a?b22号）.（即调和平均?几何平均?算术平均?平方平均）.
(a?b)a?b?a2?b2?22 变形公式： ab?? a?b?. ?;?22?2?②幂平均不等式： a12?a22?...?an2?③二维形式的三角不等式：
221(a1?a2?...?an)2. nx12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2(x1,y1,x2,y2?R).
④二维形式的柯西不等式： (a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2(a,b,c,d?R).当且仅当
ad?bc时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式： (a12?a22?a32)(b12?b22?b32)?(a1b1?a2b2?a3b3)2. ⑥一般形式的柯西不等式： (a12?a22?...?an2)(b12?b22?...?bn2)?(a1b1?a2b2?...?anbn)2. ⑦向量形式的柯西不等式：设?,?是两个向量，则??????,当且仅当?是零向量，或存在实数k，使??k?时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：设a1?a2?...?an,b1?b2?...?bn为两组实数.c1,c2,...,cn是
b1,b2,...,bn的任一排列，则a1bn?a2bn?1?...?anb1?a1c1?a2c2?...?ancn?a1b1?a2b2?...?anbn.
（反序和?乱序和?顺序和），当且仅当a1?a2?...?an或b1?b2?...?bn时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)则称f(x)为凸（或
)?.22凹）函数.
1
【经典例题】
例1、解绝对值不等式：
(1)解不等式：x?1?x?2?2 (2)解关于x的不等式：logax?loga?ax2??2,?0?a?1?
例2、已知a?0,b?0,m?0,n?0,求证：am?n?bm?n?ambn?anbm(比较法)
例3、已知a、b、c?R?,求证：1?abca?b?b?c?c?a?2.（综合法）
2
2c?a?b.求证：c?c2?ab?a?c?c2?ab（分析法） 例4、已知a、b?R，? 例5、若
例6、已知a，b，c，d>0，求证1?缩法）
例7、证明:1?
，则 、 、
中至少有一个不等于0．（反证法）
abcd????2．（放
a?b?db?c?ac?d?bd?a?c1111?????2?(n?N,n≥2). （数学归纳法） 2232n2n 3
例8、设
，利用排序不等式证明：
例9、
【经典习题】
，利用柯西不等式证明：。
一、选择题：
1、已知a,b?R，且ab?0，则（ ）
A. a?b?a?b B. a?b?a?b C. a?b?a?b D. a?b?a?b
2、
A 3、设
A
，不等式 B
C
，下列最小的是（ ） B
满足
的最大值为（ ）
C
取等号的条件是（ ） D
D ，则
4、若四个实数
A 1 B C D
4
5、是非零实数，，，则M
与N 的大小关系为 （ ） A 6、若实数
B 满足
D ， C
D ，则
的最小值是（ ）
的最小值是（ ）
A 2 B 1 C 7、
，且
A 20 B 25 C 36 D 47 8、已知（ ）
，且满足
，那么
的最大值是
A 25 B 50 C 9、已知
，且
，则
D 625
的取值范围是（ ）
A B
n
C D
10、已知f(n)=(2n+7)·3+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大
的m的值为( ) A.30
2
2B.26
2
2 C.36 D.6
11、设实数a,b,x,y满足a?b?1,x?y?3，则ax?by的最大值是（ ）.
(A)2
?(B)3 (C)5 (D)110 212、设a,b,c?R，则P?bccaab??与Q?a?b?c的大小关系是（ ）. abc(A)P?Q (B)P?Q ( C)P?Q (D)P?Q
二、填空题：
1、设函数f(x)?|2x?1|?x?3,则f(?2)= ；若f(x)?5，则x的取值范围是 。
2、若不等式|3x?2|?|2x?a|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。 3、
，则
的最大值是
5