物理习题_运动学
1． 某物体的运动规律为dv/dt??kvt，式中的k为大于零的常量．当t?0时，初速为v0，则速度v与时间t的函数关系是 (A) v? (C)
1v?12kt222?v0, (B) v??12kt?v0,
22kt2?1v0, (D)
?1v??kt2?1v0 ［ C ］
?
2． 一物体从某一确定高度以v0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为vt，那么它运动的时间是 (A)
vt?v0g． (B)
21/2vt?v02g ．
21/2(C)
?v2t?v0g?． (D)
?v2t?v02g? . [ C ]
3． 一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h，方向是
(A) 南偏西16.3°． (B) 北偏东16.3°． (C) 向正南或向正北． (D) 西偏北16.3°．
(E) 东偏南16.3°． ［ A ］
4．在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间的变化规律为S?v0t?12bt，其中v0和b都是正的常量．则t时刻齿尖P的速度
2大小为__v0?bt _，加速度大小为__b2?(v0?bt)4/R2 _． ?5．一物体作斜抛运动，初速度v0与水平方向夹角为?，如图所示．物 ?v0 体轨道最高点处的曲率半径?为___??v 02cos2??/g __．
?6．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度v的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°．则
物体在A点的切向加速度at =____?g/2 __，
轨道的曲率半径??=23v/?3g?___．
2θ ?v030° A 12?13?? 7． 已知质点的运动学方程为 ? r?(5?2t?t)i?(4t?t)j (SI)
23
当t = 2 s时，加速度的大小为a = 2.24 m/s2 ;
?加速度a与x轴正方向间夹角? =??????? 104o ????????????????????????
8．一质点从静止出发沿半径R=1 m的圆周运动，其角加速度随时间t的变化规
律是??=12t2-6t (SI)， 则质点的角速? =____4t3-3t2 (rad/s)______；
切向加速度 at =____12t2-6t (m/s2)____．
9．距河岸(看成直线)500 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =
1 r/min转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =___69.8 m/s__．
210．在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为v?ct（式中c为常
量），则从t = 0到t时刻质点走过的路程S(t) =_____ct _；t时
313
刻质点的切向加速度at =_____2ct _____；t时刻质点的法
向加速度an =_____ c2t4/R ____．
11. 一质点从静止出发，沿半径R =3 m的圆周运动．切向加速度at?3 m/s2保
持不变，当总加速度与半径成角45 o时，所经过的时间t?____1s__，在上述
时间内质点经过的路程S =______1.5m______________．
12. 在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹，发射后飞机的速度为v0 ，炮弹相对于飞机的速度为v ．略去空气阻力，则 (1) 以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为_____y?
(2) 以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为_____y?12gx2gx222?v0?v? ___，
/v __________．
2(设两种参考系中坐标原点均在发射处，x轴沿速度方向向前，y轴竖直向下)
??13. 一船以速度v0在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速v1在船中竖直向上
抛出一石子，则站在岸上的观察者看石子运动的轨迹是__抛物线__.取抛出点为原点，x轴?沿v0方向，y轴沿竖直向上方向，石子的轨迹方程是
__y?v1xv0?gx222v0 __．
14. 小船从岸边A点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t1到达对岸下游C点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B点，则需与A、B两点联
成的直线成?角逆流划行，经过时间t2到达B点．若B、C两点间距为S，则 (1) 此河宽度l =____t2S/t2?t1 ________； (2) ? =____sin
?122?t2?t2?21?? 或 cost2?????1?t1/t2? _____．
?15. 如图所示，小船以相对于水的速度 v与水
流方向成?角开行，若水流速度为u，则小船相 对于岸的速度的大小为___u2?v2?2uvcos? ___，
??vsin?与水流方向的夹角为___arcsin??22u?v?2uvcos?????v ? ?u __．
16. 质点M在水平面内的运动轨迹如图所示，OA M B 段为直线，AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周．设t =0时，M在O点，已知运动学方程为 15 m 2
S =30t+5t(SI) S A 求t =2 s时刻，质点M的切向加速度和法向加速度． 30 m 15 m C 解：首先求出t=2 s时质点在轨迹上的位置. O S =80 (m) (在大圆
上) 1分
各瞬时质点的速率： v?dS/dt?30?10t 1分 故t =2 s时, v =50 m/s 因此，各瞬时质点的切向加速度和法向加速度： at?dvdt?dSdt22?10 m/s
v22
an?? 2分
故t =2 s时， at =10 m/s2 , an =83.3 m/s2 1分
17. 有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速
?度为v0的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸
的地点．
解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为?y方向，由题意可得 ux = 0
uy = a(x?l/2)2＋b 1分
令 x = 0, x = l处 uy = 0, x = l/2处 uy＝－u0?，
代入上式定出a、ｂ，而得 uy??20?l?x?x 2分
l?船相对于岸的速度v(vx，vy)明显可知是 y vx?v0/2
v0 vy?(v0/2)?uy，
u0 l 45 将上二式的第一式进行积分，有 ° x v0t x?24u还有，
vy?dydt?dydxdxdt?v0dy2dx=
v02?4u0l2?l?x?x 2分
即
dydx?1?42u0lv02?l?x?x 1分
42u03lv0???2因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：
?
y?x?22u0lv0x?2x 2分
3到达东岸的地点(x?，y? )为
x??l , y ??yx?l?l?1?
18. 一质点以相对于斜面的速度v?斜2gy从其顶端沿斜面下滑，其中y为下滑的高度．
面倾角为?，它在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动，求质点下滑高度为h (h小
于斜面高度)时，对地速度的大小和方向． ?O x 解：选取如图所示的坐标系，以V表示质点的对
y u vx 地速度，其x、y方向投影为：
Vx?vx?u?2gycos??u， 1分
2gysin? 1分
h 32u0?? 2分 3v0?? Vy?vy?? ? Vy ? v ? V ?当y=h时，V的大小为： 2y u?2gh?2u2ghcos?22V?Vx?Vy? 2? ???V的方向与x轴夹角为?，
2分
VyVx2ghsin?2ghcos??u
??tg
?1?tg?1 1分
19..一飞机相对于空气以恒定速率v沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为V?kv(k??1)．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．
解：设正方形边长为L，则无风时
?? L?vT/4 1分 v?V
在有风天气为使飞机仍在正方形轨道上飞行，飞机在 ?每条边上的航行方向（相对于空气的速度方向）和飞行时
V 间均须作相应调整，如图（图中风速从左向右）．
?令 L=(v+V ) t1=(v-V ) t2=v?t3 1分 ?? v v22 2
其中 v?+V =v 1分
则新的运动周期为
T??t1?t2?2t3?Lv?V?Lv?V?v2L2?v ?v?
?V2 ??v?V
? V 1分
?L?12???221?k?k?1?k?k?21?k?? 2分 ??v?2??????? ?4Lv?3kLv22?3k???T??1?4? 1分
??2∴ ?T?T??T?3kT/4 1分
20. 当一列火车以36 km/h的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴，在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成30°角．
(1) 雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？ (2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？
解：(1) 题给雨滴相对于地面竖直下落，故相对于地面的水平分速为零．雨滴相对于列车的水平分速与列车速度等值反向为10 m/s，正西方向. 1分
(2) 设下标W指雨滴，t指列车，E指地面，则有
??? vWE = vWt+ vtE , v tE =10 m/s
?vWt30°?vWEvWE竖直向下，vW t偏离竖直方向30°，由图求得
雨滴相对于地面的速率为 vWE = vtE ctg30o =17.3 m/s 雨滴相对于列车的速率 vWt?
?21. 将任意多个质点从某一点以同样大小的速度v0，在同一竖直面内沿不同方向同时抛
vtEsin30??vtE 2分
?20 m/s 2分
出，试证明在任一时刻这些质点分散处在某一圆周上．
?证：设在竖直面Oxy平面内，从原点O以初速度v0(与x轴成任意角?)将质点抛出，则任一时刻该质点的位置为
x?(v0cos?)t ① 1分
y?(v0sin?)t?12gt ② 1分
2 y ?v0 ??O x
由式②得 ? y?12gt2?(v0sin?)t ③
2将①式②式平方后相加得 x?(y?这是一个圆的轨迹方程，圆心为?0, ???112gt)??v0t? 2分
2222?gt?，半径为 v0t． 1分 2?
22. 如图所示，质点作曲线运动，质点的加速度a是恒矢量????(a1?a2?a3?a).试问质点是否能作匀变速率运动? 简述理由．
答：不作匀变速率运动．因为质点若作匀变速率运动，其切
????向加速度大小at必为常数，即at1?at2?at3，现在虽然
M1?M2M3?a3?a1?a2?a?a???这使得加速度在各处切线方向的投a1?a2?a3, 但加速度与轨道各处的切线间夹角不同，
影并不相等，即at1?at2?at3，故该质点不作匀变速率运动. 结论2分；理由3分
23. 一质点沿各坐标轴的运动学方程分别为：
x = Acos??t , y = Asin??t , z?h2π?t
式中A , h , ??都是大于零的常量．试定性说明： (1) 质点在xy平面上分运动的轨迹； (2) 质点在z方向上分运动的类型； (3) 质点在xyz空间内运动的轨迹．
答：(1) 以原点为中心，A为半径的圆周； 2分 (2) 匀速直线运动； 1分 (3) 螺旋线，螺旋轴在z轴． 2分
24. 一质点沿螺旋线状的曲线自外向内运动，如图所示．已知其 ?v 走过的弧长与时间的一次方成正比．试问该质点加速度的大小是越
来越大，还是越来越小？（已知法向加速度an = v 2/?，其中?为曲线的曲率半径） M 解：根据题意质点的运动方程可写成 S = bt , 式中b为待定常量．由此可求得质点的速率和切向加速度、法向加速度的大小为：
?由上可知质点作匀速率曲线运动，加速度就等于法向加速度，又由于质点自外向内运动，??越来越小，而b为常数，所以该质点加速度的大小是越来越大．
2分
dtdtdtρ
v?dS?b , at?dv?dS22?0 , an?v2?b2 3分