（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计 值为75分. ……………8分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为: 45?(10?0.005)?55?(10?0.015)?65?(10?0.015)?
75?(10?0.03)?85?(10?0.025)?95?(10?0.01)?73.5（分）. ………11分 所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分
18.（本小题满分14分）
解:（1）因为Sn和?3Sn?1的等差中项是?3， 2 所以Sn?3Sn?1??3（n?N*），即Sn?1?1Sn?1， ……………2分
33131113 由此得Sn?1??(Sn?1)??Sn??(Sn?)（n?N*），………3分
232323232?1（n?N*） 即， ……………4分 33Sn?2Sn?1?又S1?3?a1?3??1，
222113为首项，为公比的等比数列. ……………5分
322311n?1311 （2）由（1）得Sn????()，即Sn??()n?1（n?N*），………6分
223223311n?1311n?21 所以，当n?2时，an?Sn?Sn?1?[?()]?[?()]?n?1，…8分
2232233 所以数列{Sn?}是以? 又n?1时，a1?1也适合上式，
1(n?N*). ……………9分 n?13 （3）要使不等式k?Sn对任意正整数n恒成立，即k小于或等于Sn的所有值.
所以an? 又因为Sn?311n?1?()是单调递增数列, ……………10分 2233111?1?()?1, ……………11分 223 且当n?1时，Sn取得最小值S1?
要使k小于或等于Sn的所有值，即k?1, ……………13分 所以实数k的最大值为1. ……………14分
19.（本小题满分14分）
证明：(1)因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA?PB，
所以在四棱锥P?ABCD中,DA?AB, DA?PA. …………1分 又PA?AB，且DC//AB，所以DC?PA，DC?DA， …………2分 而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA?DA?A，
所以DC?平面PAD. …………3分 因为DC?平面PCD，
所以平面PAD?平面PCD. …………4分 解：(2)因为DA?PA，且PA?AB 所以PA?平面ABCD， 又PA?平面PAB，
所以平面PAB?平面ABCD. 如图，过M作MN?AB,垂足为N, 则MN?平面ABCD. ……5分 在等腰梯形PDCB中，DC//PB， PB?3DC?3,PD?D A
O C N
B
M P
2,DA?PB，
所以PA?1，AB?2，AD? 设MN?h，则
PD2?PA2?1. …………6分
111111S?ABC?h???AB?DA?h???2?1?h?h. …………7分 33232311(DC?AB)?AD11?21?PA???1?1?. VP?ABCD?S梯形ABCD?PA??33232211 VPM?ACD?VP?ABCD?VM?ABC??h. …………8分
231112 因为VPM?ACD:VM?ABC?5:4，所以(?h):h?5:4，解得h?.………9分
2333BMMN221?? , 所以BM?BP,MP?BP. 在?PAB中，BPPA333 VM?ABC? 所以PM:MB?1:2. …………10分
(3)在梯形ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结OM.
DODC1??. …………11分 OBAB2PM1DOPM?, 所以? 又， …………12分
OBMBMB2 易知?AOB∽?DOC，所以
所以在平面PBD中，有PD//MO. …………13分 又因为PD?平面AMC，MO?平面AMC，
所以PD//平面AMC. …………14分
20.（本小题满分14分） 解：（1）由题意可得，
MA?MB?(?1?x,1?y)?(1?x,1?y)?(?2x,2?2y)， 所以|MA?MB|?(?2x)2?(2?2y)2?4x2?4y2?8y?4， 又4?12OM?(OA?OB)?4?12(x,y)?(0,2)?4?y， 2 所以4x2?4y2?8y?4?4?y，即x2y3?4?1. （2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称， 所以可设P(x,y),M(x0,y0),N(?x0,?y0). 因为P,M,N在椭圆上，所以有
x23?y24?1， ………①
x20y203?4?1， ………② ①-②得
y2?y20x2?x2??403. 又ky0y?yPM?y?x?x,k0PN?， 0x?x0 所以ky?yy?y2200y?y04PM?kPN?x?x??22??， 0x?x0x?x03 故kPM?kPN的值与点P的位置无关，与直线L也无关.
…………1分
…………2分
…………3分 …………4分 …………5分 …………6分
…………7分 …………8分 …………9分
x2y2??1，故?2?y?2，且 （3）由于P(x,y)在椭圆C上运动，椭圆方程为34 x?3?232y. …………10分 4 因为MP?(x,y?m)，所以 |MP|?x2?(y?m)2?12y?2my?m2?3 4 ?1(y?4m)2?3m2?3． …………12分 4 由题意，点P的坐标为(0,2)时，|MP|取得最小值，即当y?2时，|MP|取得最 小值，而?2?y?2，故有4m?2，解得m?1． …………13分 2 又椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为(0,2)、(0,?2)，而点M在线段DE上， 即?2?m?2，亦即
21.（本小题满分14分）
解：（1）由f(x)?ax?blnx?c知，f(x)的定义域为(0,??),f(x)?a? 又f(x)在x?e处的切线方程为(e?1)x?ey?e?0，所以有 f(e)?a?'11?m?2，所以实数m的取值范围是[,2]．…………14分 22'b, …1分 xbe?1??,① …………2分 ee 由x?1是函数f(x)的零点，得f(1)?a?c?0,② …………3分
' 由x?1是函数f(x)的极值点，得f(1)?a?b?0，③ …………4分
由①②③，得a??1，b?1，c?1. …………5分 （2）由(1)知f(x)??x?lnx?1(x?0)，
因此，g(x)?x?mf(x)?x?mx?mlnx?m(x?0)，所以 g(x)?2x?m?'22
m1?(2x2?mx?m)(x?0). …………6分 xx 要使函数g(x)在(1,3)内不是单调函数，则函数g(x)在(1,3)内一定有极值，而
g(x)?'1(2x2?mx?m)，所以函数g(x)最多有两个极值. …………7分 x 令d(x)?2x2?mx?m(x?0).
（ⅰ）当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时，g'(x)?0在(1,3)内有且仅有一个根，即
d(x)?2x2?mx?m?0在(1,3)内有且仅有一个根，又因为d(1)?2?0，当
d(3)?0，即m?9时，d(x)?2x2?mx?m?0在(1,3)内有且仅有一个根
x?32，当d(3)?0时，应有d(3)?0，即2?3?3m?m?0，解得m?9，2所以有m?9. ………8分
.（ⅱ）当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g(x)?0在(1,3)内有两个根，即二次函 数d(x)?2x?mx?m?0在(1,3)内有两个不等根，所以
2'???m2?4?2?m?0,??d(1)?2?m?m?0, ?d(3)?2?32?3m?m?0,
?m?1??3,?4 解得8?m?9. …………9分 综上，实数m的取值范围是(8,??). …………10分 （3）由h(x)?f(x)?1??x?lnx(x?0)，得h(x)?''1?x， x 令h(x)?0，得x?1，即h(x)的单调递减区间为?1,???. 由函数h(x)??x?lnx(x?0)在?1,???上单调递减可知，
当x?(1,??)时, h(x)?h(1)，即?x?lnx??1， …………11分 亦即lnx?x?1对一切x?(1,??)都成立，
lnxx?1?对一切x?(1,??)都成立， …………12分 xxln21?， 所以0?22ln32?， 0?33 亦即0?
0?ln43?， 44 … 0?ln20122011?， …………13分
20122012 所以有
ln2ln3ln4ln20121232?3?4???2012?2?3?4???20112012， 所以ln22?ln3ln4ln201213?4???2012?2012.
4分 …………1