绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工类）
本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项：
1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i为虚数单位，i607的共轭复数为
A．i B．?i C．1 D．?1
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
n(1?x)3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
1211109A．2 B．2 C．2 D．2
1
22X~N(?,?)Y~N(?,?)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正11224．设，
确的是
A．P(Y??2)?P(Y??1) B．P(X??2)?P(X??1)
C．对任意正数t，P(X?t)?P(Y?t) D．对任意正数t，P(X?t)?P(Y?t)
5．设a1,a2,22(a?a?12q：
第4题图
,an?R，n?3. 若p：a1,a2,222?an?1)(a2?a3?,an成等比数列；
2?an)?(a1a2?a2a3??an?1an)2，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
?1,x?0,?sgnx??0,x?0,??1,x?0.?6．已知符号函数
f(x)是R上的增函数，g(x)?f(x)?f(ax)(a?1)，则
A．sgn[g(x)]?sgnx B．sgn[g(x)]??sgnx C．sgn[g(x)]?sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]??sgn[f(x)]
7．在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“
1xy?2”的概率，则 的概率，p3为事件“A．p1?p2?p3 C．p3?p1?p2
B．p2?p3?p1 D．p3?p2?p1
x?y?11|x?y|?2”2”的概率，p2为事件“
8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a?b)同时增加m(m?0)个单位 长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A．对任意的a,b，e1?e2 C．对任意的a,b，e1?e2
B．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2 D．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2
2
9．已知集合
A?{(x,y)x2?y2?1,x,y?Z}，
B?{(x,y)|x|?2,|y|?2,x,y?Z}，定义集合
A?B?{(1x?2x,1y?2y)(1x,1y?)A,(2x,2?y)B}，则A?B中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
[x]表示不超过x的最大整数. 若存在实数t，[t2]?2，[tn]?n 10．设x?R，使得[t]?1，?，
同时成立，则正整数n的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）
11．已知向量OA?AB，|OA|?3，则OA?OB? ．
xπf(x)?4cos2cos(?x)?2sinx?|ln(x?1)|2212．函数的零点个数为 ．
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD? m.
y B C N M DCB A O T x A第13题图 第14题图 14．如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方）， 且
AB?2．
（Ⅰ）圆C的标准方程为 ；
22O:x?y?1相交于M,N两点，下列三个结论： A（Ⅱ）过点任作一条直线与圆
NA①
NB?MAMBNB； ②
NA?MAMB?2NB； ③
NA?MAMB?22．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）
PBC3
A
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，
AB?BC?3PBAC且，则 .
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐1?x?t?,??t??y?t?1t ( t为参数) ，l与C相交于?标方程为?(sin??3cos?)?0，曲线C的参数方程为?A,B两点，则|AB|? .
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分11分）
πf(x)?Asin(?x??)(??0,|?|?)2在某一个周期内的图象 某同学用“五点法”画函数
时，列表并填入了部分数据，如下表：
?x?? 0 0 π2 π 3π2 2π x Asin(?x??) π3 5 5π6 ?5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解 析式；
（Ⅱ）将y?f(x)图象上所有点向左平行移动?(??0)个单位长度，得到y?g(x)的图
5π,0)y?g(x)12象. 若图象的一个对称中心为，求?的最小值.
( 4
18．（本小题满分12分）
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1?a1，b2?2，q?d，S10?100．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
cn?anbn（Ⅱ）当d?1时，记
，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
PP?ABCDABCD如图，在阳马中，侧棱PD?底面， 且PD?CD，过棱PC的中点E，作EF?PB交PB于 点F，连接DE,DF,BD,BE.
DCFE（Ⅰ）证明：PB?平面DEF．试判断四面体DBEF是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
ABπ（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3，
第19题图
DC 求BC的值． 20．（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求Z的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（本小题满分14分） 一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处
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