最大获利Z?zmax?3?1000?6?1200?10200． 当W?18时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4), D(9, 0).
5zy??x?61200， 将z?1000x?1200y变形为
5zy??x?61200在y轴上的截距最大， 当x?6,y?4时，直线l：
最大获利Z?zmax?6?1000?4?1200?10800． 故最大获利Z的分布列为 8160 Z 10200 0.5 10800 0.2 P 0.3 因此，E(Z)?8160?0.3?10200?0.5?10800?0.2?9708. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p1?P(Z?10000)?0.5?0.2?0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
p?1?(1?p1)3?1?0.33?0.973.21．（14分） （Ⅰ）设点D(t,0)(|t|?2)，N(x0,y0),M(x,y)，依题意， MD?2DN，且|DN|?|ON|?1，
yPNDMOQx第21题解答图
22??(x0?t)?y0?1,?22x0?y0?1.(t?x,?y)?2(x?t,y)??00所以，且 ?t?x?2x0?2t,??y??2y0.即
且t(t?2x0)?0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
x2y2xyx0?,y0????122t?2xx?y?142016400于是，故，代入，可得，
11
x2y2??1.C164即所求的曲线的方程为
1S?OPQ??4?4?82（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为x?4或x??4，都有.
1l:y?kx?m(k??)2， （2）当直线l的斜率存在时，设直线
?y?kx?m,?22222x?4y?16,(1?4k)x?8kmx?4m?16?0. y?由 消去，可得
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
222222所以??64km?4(1?4k)(4m?16)?0，即m?16k?4. ①
又由
?y?kx?m,??x?2y?0,2mm?2mmP(,)Q(,)1?2k1?2k1?2k1?2k 可得；同理可得.
d?|m|21?k2和|PQ|?1?k|xP?xQ|，可得
由原点O到直线PQ的距离为S?OPQ1112m2m2m2?|PQ|?d?|m||xP?xQ|??|m|??2221?2k1?2k1?4k24k2?12m2??821?4k24k?1. ②
S?OPQ将①代入②得，
2.
4k2?121k?S?OPQ?8(2)?8(1?2)?84时，4k?14k?1当； 4k2?1210?k?S?OPQ?8()?8(?1?)2241?4k1?4k当时，.
2因
0?k2?122?2S?8(?1?)?8?OPQ224，则0?1?4k?1，1?4k21?4k，所以，
当且仅当k?0时取等号.
S所以当k?0时，?OPQ的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. 22．（14分） （Ⅰ）
f(x)的定义域为
(??,??)?(x)?1?exf，.
12
当f?(x)?0，即x?0时，f(x)单调递增； 当f?(x)?0，即x?0时，f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(??,0)，单调递减区间为(0,??).
当x?0时，f(x)?f(0)?0，即1?x?ex.
令x?1n1?11?en，得n，即(1?1n)n?e. ① b1?1?(1?1)1?1?1?2b1b2?b1?b2?2?2(1?1)2?(2?1)2?32（Ⅱ）a11；a1a2a1a22；b1b2b3?b1b2?b3?32?3(1?1)3?(3?1)3?43a1a2a3a1a2a33.
b1b2bn由此推测：
aa?(n?1)n.1a2n ②
下面用数学归纳法证明②.
（1）当n?1时，左边?右边?2，②成立.
b1b2bk）假设当n?k时，②成立，即a?(k?1)k（21a2ak.
当n?k?1时，bk?1?(k?1)(1?1k?1)k?1ak?1，由归纳假设可得
b1b2bkbk?1b1b2bk?bk?1?(k?1)k(k?1)(1?1)k?1a?(k?2)k?11a2a?kak?1a1a2akak?1k?1.
所以当n?k?1时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立. （Ⅲ）由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得 1111Tn?c1?c2?c3??cn?(a1)1?(a1a2)2?(a1a2a3)3??(a1a2an)n
1111123n?(b1)(bbb)2?(b1b2)3?1234??(b1b2bn)n?1 ?b1?b1?b22?3?b1?b2?b31?23?4??b1?b2??bnn(n?1)
13
?b1111[1?2?2?3??1n(n?1)]?b112[2?3?3?4??n(n?1)]??bn?1n(n?1)
?b111(1?n?1)?b(2?1n?1)??b(112nn?n?1)
?b11?b22??bnn?(1?11)1a111?(1?2)2a2??(1?n)nan ?ea1?ea2??ean?eSn.
即Tn?eSn.
14