∴BD＝3DC＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8，
∴在△ABC与△ACD中，BC∶AC＝AC∶CD＝2，∠BCA＝∠ACD. ∴△ADC∽△BAC. (2)解：∵△ADC∽△BAC， ∴
ADBA＝DCAC
， 又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2， ∴AD＝2×84
＝4.
11．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC. ∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°. ∴△BDE∽△CAD.
(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5， ∵AC＝AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝AC2
－CD2
＝12. 由(1)中△BDE∽△CAD可知：DEBDDE5
AD＝CA，得12＝13，
故DE＝60
13. 【拔高训练】 1．D
2．解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝1，∠B＝60°， ∴AD＝3BD＝3.
(2)∵△A′DC′是由△ADC绕点D旋转得到的， ∴AD＝A′D，CD＝C′D，∠ADC＝∠A′DC′＝90°， ∴∠ADA′＝∠CDC′，ADA′D
CD＝C′D，
∴△ADA′∽△CDC′. (3)∵△ADA′∽△CDC′， ∴
AA′CC′＝AD
CD
＝3. 即CC′2＝12
3
AA′.
6
在Rt△A′DC中，A′D＝AD＝3，CD＝1， ∴A′C＝2.
∴A′E＝CE－A′C＝3－2，
在Rt△AEA′中，由勾股定理得AA′＝AE＋A′E＝1＋(3－2)＝6－26， 2
2
2
2
2
∴CC′2
＝2－263.
3．(1)解：49
3或2或6.
(2)证明：∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD. 又∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DCA， ∴
BCCA＝CAAD
，即CA2
＝BC·AD. ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴CA2
＝BC·AB， ∴△ABC是比例三角形．
(3)解：如解图，过点A作AH⊥BD于点H. ∵AB＝AD， ∴BH＝12
BD.
∵AD∥BC，∠ADC＝90°， ∴∠BCD＝90°. ∴∠BHA＝∠BCD＝90°. 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴
ABDB＝BHBC
， ∴AB·BC＝DB·BH，
7
12
∴AB·BC＝BD.
2又∵AB·BC＝AC， 122
∴BD＝AC， 2∴
2
BD
＝2. AC
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