南京工业大学2010-2011学年第二学期期末试卷及解答
一.填空题(每小题3分, 满分15分)
1. 过直线L:x?1y?2z?2??且垂直于平面3x?2y?z?5的平面方程是2?32_________．
【解】应填：x?8y?13z?9?0．
直线L的方向向量s?{2,?3,2}．已知平面的法向量n1?{3,2,?1}，设所求平面的法向量为n，由题意知n?s且n?n1，故可取
ijkn?s?n1?2?32?{?1,8,13}，
32?1由条件知，所求平面过点P0(1,?2,2)于是所求平面方程为
，
?(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0，
即
x?8y?13z?9?0．
2. 设x?2xy?y?ze?1，则dz【解】应填：?2dx?dy．
由x2?2xy?y?zez?1，两边求全微分，得
2z(0,1)? ．
2xdx?2ydx?2xdy?dy?(1?z)ezdz?0，
当x?0,y?1时，代入原方程得z?0，
所以
dz
(0,1)??2dx?dy．
3. 椭圆抛物面?：z?2x?y在点P0(1,?1,3)处的法线方程是___________. 【解】应填：
22x?1y?1z?3??. 4?2?1曲面?在点P0(1,?1,3)处的法向量可取为
1
n??4x,2y,?1?(1,?1,3)??4,?2,?1?，
于是曲面?在点P0(1,?1,3)处的法线方程为
x?1y?1z?4??2?3?1.
4. 曲面z?x2?y2与z?x2?y2所围立体的体积为 ．
【解】应填：
?6． V????dv?2?0d?1r????0rdr?r2dz?6．
5. 设L为上半圆周y?1?x2，则曲线积分??x2L?xy?y2?ds=____________．【解】应填：?．
由对称性，代入技巧及几何意义可得
?2L?x?xy?y2?ds??Lds?0??
二.选择题(每小题3分, 满分15分)
1．方程y???3y??2y?1?2x?3ex的特解形式为（ ）． (A)(ax?b)ex (B) (ax?b)xex (C) ax?b?cex (D) ax?b?cxex 【解】选（D）
2.设un1n?(?1)sinn，则级数（ ）． （A）?????u2n与
?un都收敛 （B）
n?1n?1?u2n与
n?1?un都发散n?1（C）
?????u2n收敛，而
n发散 （D）
u2n发散，而
n收敛
n?1?un?1?n?1?un?1【解】选（C）
2
3．二元函数f(x,y)的两个偏导数fx￠(x,y)，fy￠(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件
【解】若fx￠(x,y)，fy￠(x,y)在点P0(x0,y0)都连续，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，
选(A) 4.
?10dx?2x1xy1?y3dy?（ ）
（A）
12?2?1 （B）
?13?2?1 （C）?112 2 （D）32【解】 原积分?
?dy?01y011y2dy1?dx??021?y331?y3xy?2?1． 选（B）
??x2???x?05. 设f(x)??，则周期为2?的函数f(x)的傅立叶级数在x?2?处
?x??0?x??收敛于 ． （A）??2 （B）?? （C）0 （D）?
2【解】选(A)
三. (10分) 设z?f(xy,xy)?g()，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导yx?2z数，求．
?x?y【解】根据复合函数求偏导公式得
?z1y?f1??y?f2???g??(?2), ?xyx3
?2z???z???1y??????f1??y?f2???g??(?2)??x?y?y??x??y?yx?x11xy1?f1??y[f11??x?f12???(?2)]?2f2??[f21??x?f22???(?2)]?g???3?g??2yyyyxx1xy1?f1??xyf11???2f2??3f22???3g???2g?yyxx
x2四. (10分) 求z?f(x,y)?x?y在闭区域D：?y2?1上的最大值和最小值．
422【解】在D的内部，
?fx??2x?0?(0,0)为驻点，且f(0,0)?0 ??f??2y?0?y在D的边界上，
x2x25x22222?y?1?y?1??z?x?y??1由444(?2?x?2)
dz5x??0?x?0，此时，y??1,，则有f(0,?1)??1,dx2比较上述函数值知，
f(?2,0)?4
函数z?f(x,y)?x?y在D上的最大值为4,最小值为-1．
五. (10分) 求微分方程y???22y??xex的通解. x1p?xex， x【解】不显含y，故令y??p,则y???p?，代入原方程得p??利用通解公式求得通解为
p?x(ex?C1)，
积分得原方程通解为
1y?(x?1)ex?C1x2?C2．
2
六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数f(x)，使在右半平面内，y[2?f(x)]dx?xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)?2； （Ⅱ）求u(x,y)； 【解】（Ⅰ）P?y[2?f(x)]，Q?xf(x)．
4
因为y[2?f(x)]dx?xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分，所以有 即
?Q?P， ??x?yf(x)?xf?(x)?2?f(x)，
故
xf?(x)?2f(x)?2． 上述微分方程的通解为
f(x)?1?所以
C.由f(1)?2得C?1, x21． x2f(x)?1? （Ⅱ）在右半平面内取(x0,y0)?(1,0)，则
11u(x,y)??P(x,0)dx??Q(x,y)dy??0(x?)dy?y(x?)．
10xxxyy
七. (12分) 求幂级数
??n(n?1)xn?1?n的收敛域及和函数．
【解】易求得其收敛域为(?1,1)，令
S(x)??n(n?1)x?x?n(n?1)xnn?1n?1?n?1?x?S1(x)， 其中 S1(x)??n(n?1)xn?1，
n?1??两边积分
?再积分
x0S1(x)dx???n(n?1)xn?10?xn?1dx??(n?1)xn，
n?1?(?0xx0S1(x)dx)dx???(n?1)xdx??xnn?10?x?n?1n?1x2． ?1?x因此
x22S1(x)?()???，
1?x(1?x)3故原级数的和
S(x)?
2x，x?(?1,1)．
(1?x)3八. (12分) 计算积分I???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy?，其中?是抛物面
z?x2?y2(0?z?1)，取下侧．
5
【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,
设?与?0围成空间区域?, ?及?0在xOy平面上的投影区域Dxy:x?y?1. 由Gauss公式，
I?22???0??(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy
?0????[???(y?z)?(x?2z)]dv???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy ?y?z?0?0?3???dv???(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy.
?因为?0垂直于zOx平面，?0在zOx平面上的投影区域面积为零， 所以
??(y?z)dzdx?0.
?0I?3??[?2Dxy1x?y2dz]dxdy???[x?2(x2?y2)]dxdy
Dxy2?1???(3?5x2?5y2)dxdy??d??(3?5r2)rdr?Dxy00?.2
九. (4分) 设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
??(y)dx?2xydy2x?y24L的值恒为同一常数．证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑简
单闭曲线C，有
??(y)dx?2xydy2x?y24C?0；
【证明】将C分解为：C?l1?l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则
??(y)dx?2xydy2x?y24C???(y)dx?2xydy2x2?y4l1?l3???(y)dx?2xydy2x?y24l2?l3?0．
6