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故函数g(x)的最大值为g()?ln1a11111?a?()2?(1?a)??1??lna．???7分 a2aa2a令h(a)?1?lna， 2a11?0，h(2)??ln2?0，又因为h(a)在a?(0,??)是减函数． 24因为h(1)?所以当a≥2时，h(a)?0．
所以整数a的最小值为2． ??????????????????????9分 方法二：（2）由f(x)≤ax?1恒成立，得lnx?12ax?x≤ax?1在(0,??)上恒成立， 2lnx?x?1问题等价于在(0,??)上恒成立． 12x?x2lnx?x?1g(x)?令，只要a≥g(x)max． ???????????????? 5分 12x?x21(x?1)(?x?lnx)12因为g?(x)?，令g?(x)?0，得?x?lnx?0．
12(x2?x)22a≥设h(x)??111x?lnx，因为h?(x)????0，所以h(x)在(0,??)上单调递减，
2x21?x?lnx?0的根为x0． 不妨设2当x?(0,x0)时，g?(x)?0；当x?(x0,??)时，g?(x)?0， 所以g(x)在x?(0,x0)上是增函数；在x?(x0,??)上是减函数．
11?x0lnx0?x0?112??． ?????????7分 所以g(x)max?g(x0)?121x0?x0x0(1?x0)x022111因为h()?ln2??0，h(1)???0
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111??2，即g(x)max?(1,2)． 所以?x0?1，此时
x02所以a≥2，即整数a的最小值为2． ?????????????????? 9分 （3）当a??2时，f(x)?lnx?x2?x,x?0
22由f(x1)?f(x2)?x1x2?0，即lnx1?x1?x1?lnx2?x2?x2?x1x2?0
2从而(x1?x2)?(x1?x2)?x1?x2?ln(x1?x2) ????????????? 11分
令t?x1?x2，则由?(t)?t?lnt得，??(t)?t?1 t可知，?(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增．
所以?(t)≥?(1)?1， ?????????????????????13分 所以(x1?x2)?(x1?x2)≥1， 因此x1?x2≥25?1成立． ?????????????????????? 14分 2
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