1.对一个五人学习小组考虑生日问题（1）求五个人的生日都在星期日的概率；解（1设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=
=（
）5 2） 设A2={五
个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）==(
)5设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?P(A1)=1?()5.
2.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n 次抽取中有m mn次为CM正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种从n?mN?M件次品中取n?m件的排列数为PN?Mmmn?mn（3）共做了n重贝努里试验，每p（A)?CPP/PnMN?MN种，所以 Mm，则取得m件正品的概率为p(A)?CnMm(N?M)n?m/Nn N3. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只【解设A={发生一个部件强度太 次取得正品的概率为 133弱}p(A)?C10C3/C50?1/1960 4.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有 213两个是白球的概率【解设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.p(A2)?C4C3/C7?18/35 33p(A3)?C4/C7?4/35故有P(A2UA3)?P(A2)?P(A3)?22/35 5.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7.【解设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） （1）P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7*0.8?0.56(2) P(AUA12)?0.94(3)P(A1AUA21A2)?0.38 6.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面（1问正好在第6次停止的概率；（2问正好在第6次 2313121?C1/21/2?5/32P?C1/21/2 5/32=2（1） P (2) /5????????152424 7.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进 【解设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 333222233?1122P?UAiBi3??=?0.3??0.4?+C30.7*?0.3?C30.6*?0.4?+C3?0.7?*0.3C3?0.6?0.4+?0.7??0.6?=0.32076 ?i?0?8.从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子【解P?1?C5C2C2C2C2/C10=13/21 9.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.（1） p(B1A)=P?AB?/P?A??0.2 （2） p(BUA)=P?A??P?B??P?AB??0.7 411114 10.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P?B1A7??6/ 11.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P?A1B??P?AB?/P?B??P?A?P(B1A)/[P?A?P(B1A)?P?A?P(B1A)]?20/21 12.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30. 如图阴影部分所示.P?302/602?1/4 13.从（0，1）中随机地取两个数，（1） 两个数之和小于6/5的概率（2）两个数之积小于1/4 【解】 设两数为x,y，则0 P?1? P1?1?0.5*0.8*0.8?0.68(2) xy =<1/4. 2??10.25dx?10.25xdy)?0.25?0.5ln2 14.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪） 【解】 15.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}有 331231333C6C9C9C6C8C92C6C7C9C6P?B???P?B1Ai?P(Ai)?3*3?3*3?3*3?3*3?0.089 C15C15C15C15C15C15C15C15i?03 16.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格（1）考试及格的学生有 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则 ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8 P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯 A?B?PP??)A/P[B??AP)AP?B(2) (A1公式知P1?(1?/?A?B??P?B(1??P)P?A1B??P?AB?/P?B??P?A?P(B1A)/[P?A?P(B1A)?P?A?P(B1A)]?0.3077 17.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) = 311?C30.6?0.4?C30.7?0.3??C32(0.6)20.4C32(0.7)20.3??0.6??0.7??0.320762233?0.4??0.3?3 11C30.6?0.4?(0.3)3?C32(0.6)20.4(0.3)3?(0.6)3(0.3)3?C32?0.6?0.4C30.7(0.3)2?(0.6)3C32(0.7)20.3?0.243 22 18.有2500名同一年龄和同社会阶层的人1）保险公司亏本的概率（;2保险公司获利分别不少于10000 【解】（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则 X~b(2500,0.002)，则所求概率为 14 e?55k由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有P(15?X)?1???0.000069(2) P(保险公司 k!k?0获利不少于10000) e?55k ?1???0.986305 k!k?010P（保险公司获利不少于20000） e?55k?1???0.615961 k!k?0519..已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae?|x|, ?∞ ??-101-x0??x??x（x）?0?(2) P(0?X?1)?0.5?edx=0.53) 当x<0时，F（1-e）1x1edx=ex -?22x1F（x）=ex，x<0x1-x01x112???x?（x）??edx=?edx+?e-xdx=1-e-x (3) 当x≥0时， F -?2-?2021-x2F（x）=e，x>0220.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)求（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概 100184311?2?dx??p?[P(X?150)]?【解】1.P(X?150)=?(2) (3)当x<100时F（x）P?C?123??100x23273?3?91502（x）??f(t)dt=?f(t)dt??f(t)dt??=0当x≥100时F-?-?100xxx100100dt?1?故100t2xx 21.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］. 解.由题意知X~∪[0,a]，密度函数为 故当x<0时F（x）=0 xF（x）=， 0?x?aaxxx11x（x）=e-x，x>0（x）??f(t)dt=?f(t)dt??dt?当x>a时，当0≤x≤a时FF（x）=1即分布函数F -?00a2aF（x）=1,x?a22.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3 的概率. 151F（x）=，2?x?52202221323P（x>3)=dx?P?C()?C()?【解】X~U[2,5]，即故所求概率为 333?33333327 =0,其他23.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.试写出Y的分布律并求P{≥ 【解】依题意知 1F（x）=e?x/5,x?0，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为5 =0,x?01P（x>10)=?e?x/5dx?e-2105?,即其分布律为 P(Y?K)?C5k(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25 24.设随机变量X分布函数为（1） 求常数A，B；（2） 求P{X ≤2}，P{X＞3}； 【 解 （ 1 由 =1?limF(x）=limF(x）得A=1 B=-1?limF(x）x???x?0+x?0?（2） P（x?2)=F(2)=1-e-2? P（x>3)=1-F(3)=1-（1-e）=e-3?-3?f（x）=F?（x）=?e-?x，x?0(3) =0，x<0 =x，0?x<1=2-x，1?x<2求X的分布函数F（x），并画出f（x）. 25.设随机变量X的概率密度为f（x） =0，其他（x）=?f（t）dt=?f（t）dt??f（t）dt=?【解】当x<0时F（x）=0当0≤x<1时 F-???0x0xx0x2tdt= 2（x）=?f（t）dt=?f（t）dt=?f(t)dt+?f(t)dt??tdt??当1≤x<2时F-???010x01x1x1x2?2?t?dt???2x?1 2 =0,x<0当x≥2时F（x）=?x??f(t)dt?1故 F（x）=x2/2,0?x?1 =-x/2?2x-1，1?x<2 =1,x?22 .........=bx,0?x?126.设随机变量X的密度函数为（1） f(x)=ae?l|x|,λ>0;(2)f(x)?1/x2,1?x?2试确定常数a,bFx ........?0,其他【解】（1）由????f(x)dx?1知1??ae???????x??dx?2a?e0?????x??dx?2a/?故 a??/2 x??xe?x即密度函数为 当x≤0时F(x)????f(x)dx????edx? ?x22f（x）=?e/2,x?0 =?e??x/2,x>0x当x>0时 F(x)??故其分布函数 x??f(x)dx??x?2??edx???xx?e??x0e??xdx?1? 22?12 =1-e??x/2,x>0f（x）=e?x/2,x?0(2) 由1??f(x)dx=?bxdx+?-?011b1dx?+得b=1 2x22 =x,0 =0，其他当x≤0时F（x）=0当0 -??00x0xx当1≤x<2时 F（x）??f(x)dx=?0dx+?xdx+?dx/x2?3/2?1/X -???00x01x当x≥2时F（x）=1 =0,x?0故其分布函数为 F（x）=x2/2,0x?1 =3/2?1/x，1?x<2 =1,x?2 27.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域 内的概率. 【解】如图 28.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由 ????????-?f(x,y)dxdy=?y????0?0Ae?(3x?4y)dxdy=A/12=1 （2） 由定义，有 F(x,y)??y???x-?f(u,v)dudv=?0?y0-3u+4v）12e（dudv=(1?e?3x)(1?e?4y),y?0,x?0............................................?0,..........................?0，其他 (3) =P?0?X?1,0?Y?2? =P?0?X?1,0?Y?2 =?100??3_8?12e2?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e)?0.9499 29.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= （1） 确定常数k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{X<1.5}； 【解】（1） 由性质有 ??1????????1f(x,y)dxdy???k(6?x?y)dydx?8k?1故R=1/8 02823（2 1P?X?1,Y?3????f（x，y）dydx=??k（6-x-y）dydx=3/8 ????028313