(3) (4)
30..设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为 fY（y）=
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
【解】（1 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
而所以
(2)
31.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=
求（X，Y）的联合分布密度.【解】
32..设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】
fx(x)??????f(x,y)dy??4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x).0?x?10x??................?0,.......................?0,其他1
22.?4y(3?4y?+y).0y fy(y) ????................?0,.......................?0,其他
f(x,yd)x??4.y8?(x2d?)xy133..设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=34.【解】fx(x)????求边缘概率密度.
f(x,y)dy??e-ydy?e-x。x>00+???................?0,.......................?0,其他y0fY(Y)????f(x,y)dx??e-ydx?ye-x。y>0................?0,.......................?0,其他??
35.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=
（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度.
【解】（1） ???+????+?-?f（x，y）dxdy=??f(x.y)dxdy??dx?2cx2ydy?4c/21?1得c=21/4
D?1x11212212xydy=x（1-x4），-1?x?1??x4(2) 8.....................................=0..................=0.，其他FX(x)??f(x,y)dy??212127xydx=y5/2，0?y?1??-y4 2.....................................=0..................=0.，其他Fy(y)????f(x,y)dx??y36.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.【解】
Fx(x)????
1??f(x,y)dy??1dy=2x，0 -y1.....................................=0..................=0.，其他1，-y 1-y.....................................=..........................................?0，其他所以 fnx(y1x)?f(x,y)/fx(x)?1/2x，y?X..........................................?0，其他X P 37.设随机变量X的分布律为 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求【解】因 ……①,又 ??1 0 1 p1 p2 p3 ……②, P1，P2，P 由①②③联立解得 38.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为的率 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 39.设随机变量X的概率密度为f（x）= 2【解】E(X)????xf(x)dx??0xdx??1??12求E（X），D（X）. 123?13??2x?x(2?x)dx??x???x???1 3?1?3?0?E(X)??xf(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?7/6故 ??012??2132 40.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期 望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ??4X. 【解】(1) (2) 41.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y） 【 解 】 (1) 42.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= 试确定常数k，并求E（XY）. (2) ??????????f(x,y)dxdy??dx?kdy?k/2=1故K?2 E(XY)???????xyf(x,y)dxdy??1xdx?x2ydy?0.25. 00????00 fY（y）= 求E 1x43..设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)=?x2xdx=2/3 0+?01 E(Y)??ye5+?（-y-5）dy????5?edz+?ze-zdz?6 0令z-y-5+?-z由X与Y的独立性，得 44.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）=【解】(X)=?+?-? fY（y）= +?0求（1） E（X+Y） xf（xx）dx?+?0+?+?-2x-2xx2e-2xdx=[-xe-2x]0edx=edx=0.5 ??0+? E(Y)=?+?-?y（fy）yd?y012y4edE（yY=）?4-4y?+0=2-4yy4e dy=1/8从而(1) 45.设随机变量X的概率密度为f（x）=【解】(1) 由 (2) 求（1系数c;（2）E（X）;（3）D（X）. 得 .(2) (3) 46.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：由此可得 47.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）= 200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值100元和??200元 P?Y?100)?P(X?1)????1e-x/4dx=e-1/4 4 故 48.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】μ=60,σ2=152,n=100 即 2 49.从正态总体N（4.2，5）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？ 【解】则Φ(0.4 )=0.975，故0.4 >1.96,即n>24.01，所以n至少应取25 50.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9样本，并 测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果只记得样本方差为 S2=1002，试求P（ ＞1062）. 解.μ=1000,n=9，S2=1002 51.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值以上，求总体的标准差.【解】 ，由P(| -μ|>4)=0.02得P|Z|>4(σ/n)=0.02, 故,即查表得 所以 52.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其 样本方差，且P（S2＞a）=0.1，求a之值. 【解】查表得所以 53.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，?，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估 【解】 因此np=所以p的矩估计量 54..设总体X的密度函数f（x,θ）= X1，X2，?，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估 【解】 所以θ的矩估计量为 令E(X)=A1=,因此= 55.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，?，Xn为其样本，求θ的极大似然估计. （1） f（x，θ）= n（2） f（x，θ）= n?? ?xii?4n【解】（1） 似然函数L=?f(x?,?)??n?e??xi??ne??ei-1i?1 由知所以θ的极大似然估计量为. (2) 似然函数,i=1,2,?,n. 由知所以θ的极大似然估计量为 56.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n=6,σ=0.06,α=1-0.95=0.05, 2 , μ的置信度为0.95的置信区间为. 57.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为 , 于是置信区间长度为,那么由≤L,得n≥ 58.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：