2014届第一学期期中考试
2013.11
高三理科数学试题答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、?0,1?2、3 3、20 4、?1 5、g(x)?2cos(
x??)?1 346、1或2 7、4 8、11、
? 9、???,2? 10、 5 3219 12、 24 13、4 14、e
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．）
15．（本题满分14分）解：（1）∵S?MBC?∴周期T?2??1?2?BC?BC??， 2???,??1．……………………………………3分
由f(0)?2sin??∵0???2，得sin??2， 2??，∴??，……………………………………6分 24?4∴f(x)?2sin(x?)．……………………………………7分
（2）由f(??)?2sin??分
?4255，得sin??，……………………………………955∵??(0,)，∴cos??1?sin??∴cos2??2cos2??1?…………………………12分
?2225，.……………………………………10分 534,sin2??2sin?cos??，…55MA???cos(2??)?cos2?cos?sin2?sin44432422．………14分 ??????52521016．（本题满分14分）解：（1）a、b、c成等差，且公差为2，
∴
θNBC?a?c?4、b?c?2.……………………………………2分
又
分
21a2?b2?c21?MCN??，cosC??，???，………………4
322ab2?c?4???c?2??c2?2?c?4??c?2?2221??，
2恒等变形得 c?9c?14?0，解得c?7或c?2.……………………………6
分
又
c?4，?c?7. ………………………………………7分
（2）在?ABC中，
ACBCAB??，
sin?ABCsin?BACsin?ACB?AC?sin?BC3??2，
???sin2?sin????3?3????AC?2sin?，BC?2sin????. ……………………………………9
?3?分
?????ABC的周长f????AC?BC?AB?2sin??2sin?????3
?3??1?3????2?sin??cos??3?2sin??????3，………11分 ?2?23????又
分
??2????， …………………………………12???0,?，?????333?3??3?当??分
??2即???时，f???取得最大值2?3．……………………146217.（本小题满分14分）解：（1）f?(x)??3x?2ax. …………………………. ……………1分
根据题意，f?(1)?tan??1,??3?2a?1,即a?2. …………………3分 4322 此时，f(x)??x?2x?4，则f?(x)??3x?4x. 令f'(x)?0，得x1?0,x2?4. 3x f??x? f?x? ?1 (?1,0) - ↘ 0 (0,1) + ↗ 1 1 ?7 ?1 0 ?4 ?3 …………………………………………………………………………………………. 6分
∴当x???1,1?时，f?x?最小值为f?0???4. ………………………7分 （2）?f?(x)??3x(x?
2a). 3①若a≤0,当x?0时,f?(x)?0,?f(x)在(0,??)上单调递减. 又f(0)??4,则当x?0时,f(x)??4.
?当a≤0时,不存在x0?0,使f(x0)?0.…………………………………………..10分
2a2a时,f?(x)?0;当x?时,f?(x)?0. 332a2a）从而f(x)在（0，上单调递增，在（，+?)上单调递减. 33 ②若a?0,则当0?x?
?当x?(0,??)时,f(x)max2a8a34a34a3?f()????4??4.
327927
4a3?4?0,即a3?27.?a?3. …………….............................. 13分 根据题意，27 综上，a的取值范围是(3,??).……………………………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）由题意知，该产品售价为2?(分
10?2P)万元，……………2P10?2Py?2?()?P?10?2P?x，……………………………………4分
P4?x)，代入化简得 y?16?(（0?x?a）……………………………………6分 x?144?x?1)?17?2?(x?1)?13 （2）y?17?(x?1x?14?x?1,即x?1时，上式取等号. …………………………………9分 当且仅当
x?1当a?1时， 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；…………………………………11
分
当a?1时，y?'??x?1???x?3??x?1?2?0，故y?17?(4?x?1)在?0,a?上单调递增，x?1所以在x=a时，函数有最大值.促销费用投入a万元时，厂家的利润最大 .……………………15分
综上述，当a?1时， 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当a?1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大 . ……………………………………16分 19．（本题满分16分）解：（1）∵a2a4=a12q4?q4?16，q2=4， ∵an?0，∴q=2， ∴an?2n?1……………………………………2分 ∴b3=a4＝8. ∵6Sn?bn2?3bn+2 ① 当n≥2时，6Sn?1?bn?12?3bn?1+2 ②
2①-②得6bn?bn2?bn?1?3bn?3bn?1即(bn?bn?1)(bn?bn?1)?3(bn?bn?1)
b1?2，单调增数列?bn?，?bn?0，
∴bn?bn?1=3，∴{bn}是公差为3的等差数列．…………………………4分 由b1?2得，bn?b1??n?1?d?3n?1． …………………………6分 （2）∵bn?3n?1，∴cn?∴c1=2>1，c2=
bn3n?1＝n?1，
2an5117＞1，c3=2>1，c4?>1，c5?<1，…………………………8分 288下面证明当n≥5时，cn?1． 事实上，当n≥5时，cn?1?cn?即cn?1?cn，∵c5?3n?23n?14?3n?n?1＝n＜0 2n227<1 ∴当n≥5时，Cn?1，…………………………10分 8故满足条件cn?1的所有n的值为1，2，3，4．…………………………11分
(3)假设{an}中存在三项p，q，r (p ∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分 — ————20．(本小题满分16分)解：（1）因为x?R，所以x?0，故 f(x)?3e?a?3e0?a?3?a， x因为函数f(x)的最小值为3，所以a?0． ………………3分 （2）由（1）得，f(x)?3e. 当x?0时，lnf(x)?ln(3e)?ln3?lne?ln3?x??x?ln3，……… 5分 故 不 等 2xxx式 lnf(x)?ln3?x2?(2b?1)x?3b2可化为： ?x?x2?(2b?1)x?3b，即x2?2bx?3b2?0， ……………… 7分 得(x?3b)(x?b)?0， 所以，当b?0时，不等式的解为x??3b；当b?0时，不等式的解为x?b．……… 9分 （3）∵当t?[?1,??)且x?[1,m]时，x?t?0， ∴f(x?t)?3ex?ex?t?ex?t?1?lnx?x. ∴原命题等价转化为:存在实数t?[?1,??)，使得不等式t?1?lnx?x对任意 x?[1,m]恒成立. …………… 11分 令h(x)?1?lnx?x(x?0).∵h(x)?'1?1?0，∴函数h(x)在(0,??)为减函数. x又∵x?[1,m]，∴h(x)min?h(m)?1?lnm?m. …………… 13分 ∴要使得对x?[1,m]，t值恒存在，只须1?lnm?m??1．………… 14分 ∵ 131h(3)?ln3?2?ln(?)?ln??1eee， 141h(4)?ln4?3?ln(?2)?ln??1 eee且函数h(x)在(0,??)为减函数， ∴满足条件的最大整数m的值为3．…… 16分