（2）当t??1,20?，401?4t?100100?401?24t??441（t=5时取最小值）???9分 tt140?4t递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)= t 当t??20，，30?，因为W?t??559?443
2
???11分 3
所以t??1,30?时，W(t)的最小值为441万元???12分
3x2y221.已知直线l:y?x?1，圆O:x?y?,直线l被圆截得的弦长与椭圆C:2?2?1(a?b?0)2ab22的短轴长相等,椭圆的离心率e?3 2(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 过点M(0，?1)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一
3个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
21．解： (Ⅰ)则由题设可知b?1， 2分
又e?3 a?2 3分 2x2所以椭圆C的方程是?y2?1. ……4分
2(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为y?kx?，
将它代入椭圆方程，并整理，得(18k2?9)x2?12kx?16?0． ……5分
12k?x?x?,??1218k2?9设点A、B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则 ?
?16?xx?.?1218k2?9?13因为TA?(x1?u,y1?v),TB?(x2?u,y2?v)及y1?kx1?,y2?kx2?,
TB?(x1?u)(x2?u)?(y1?v)(y2?v) 所以TA?????????????131312v1?(k2?1)x1x2?(u?k?kv)(x1?x2)?u2?v2??
339(6u2?6v2?6)k2?4ku?(3u2?3v2?2v?5) ……8 分 ?6k2?2
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当且仅当TA?TB?0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， ……9分
?6u2?18v2?18?0,?所以?u?0,解得u?0,v?1.
?22?3u?3v?2v?5?0.此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ……10分
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x2?y2?1也过点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. ……12分
解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2?y2?1.
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是x2?(y?)2??x2?y2?1,?x?0由?解得. ??21216y?1x?(y?)?.??39?1316. ……6分 9由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ……7分 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2?y2?1，过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为y?kx?，代入椭圆方程，并整理，得
(18k2?9)x2?12kx?16?0.138分
12k?x?x?,122??18k?9设点A、B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则?
?16?xx?.12?18k2?9?因为TA?(x1,y1?1),TB?(x2,y2?1)，
??????416TA?TA?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1?(k2?1)x1x2?k(x1?x2)?
39???????16k2?16?16k2?32k2?16 ??0.18k2?9 ??????所以TA?TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ……11分
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. ……12分
(22)(本小题满分14分)
2k?' 设函数f(x)?x?2(?1)lnx(k?N),f(x)表示f(x)导函数。
(I)求函数f(x)的单调递增区间；
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22 (Ⅱ)当k为偶数时，数列{an}满足a1?1,anf'(an)?an?1?3．证明：数列{an}中
不存在成等差数列的三项；
(Ⅲ)当k为奇数时， 设bn?1f??n??n，数列?bn?的前n项和为Sn，证明不等式 2?1?bn?1bn?1?e对一切正整数n均成立，并比较S2012?1与ln2012的大小.
解：(I)定义域为xx?0,f(x)?2x?2(?1)当k为奇数时，f(x)?2x?'??'k1 x2?0恒成立, x?f(x)的单调递增区间为(0,??).??????2分
22(x2?1)2(x?1)(x?1)?当k为偶数时，f(x)?2x??,
xxx'又x?(0,??)，?x?0,x?1?0， 由f'(x)?0，x?1，
?f(x)的单调递增区间为(1,??).??????4分
(Ⅱ) 当k为偶数时，f(x)?2x?'22'， ?f(an)?2an? xan2由已知，a1?1,anf'(an)?an?1?3，?an(2an?22)?an?1?3 an22222?2an2?2?an?1?3，?2an?an?1?1，?2(an?1)?an?1?1
??an2?1?是以2为公比的等比数列.
?an2?1?2?2n?1,?an2?2n?1.??????6分
2222数列{an}中假设存在三项am，ak，an成等差数列，不妨设m?k?n， 222则2ak， ?am?an又am2?2m?1，ak2?2k?1，an2?2n?1，
?2(2k?1)?2n?1?2m?1
?2k?1?2n?2m，?2k?1?m?2n?m?1，
等式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，
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2}中不存在成等差数列的三项??????9分 ?假设不成立，数列{an2 x11111?bn?f'(n)?n?,Sn?1?????
2n23n11n?1b要证?1?bn?n?1?e，即证(1?)?e，两边取对数，
n11即证ln(1?)???????10分
nn?111(t?1)， 设1??t，则n?nt?111?lnt?1?(t?1)，构造函数g(t)?lnt??1(t?1)，
tt11?x?1，?g'(t)??2?0，
tt(Ⅲ) 当k为奇数时，f(x)?2x?'g(t)?g(1)?0， ?g(t)在（1，+?）上单调递增，1111即lnt?1?，?ln(1?)?，即?1?bn?bn?1?e.??????12分
tnn?1111111S2012?1?(1?????)?1?????
23201223201211111111?ln(1?)??ln2?ln(1?)?ln(1?)??ln(1?) ,?????nn?1232012232011342012?ln2?ln?ln???ln
232011342012?ln(2?????)?ln2012
232011111?ln2012 ?????????14分 ?????232012
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