Richard son,1881-1953)、波兰著名数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972)和法国著名实验物 理学 家、诺贝尔奖获得者佩兰(Jean-Baptiste Perrin,1870-1942)等都有过精彩论述。芒 氏当时似乎只注意到前两人，后来才发现后者有一长串精辟阐 述(在1977年、1982年的专著 中芒氏大段引述了佩兰的话)。在《科学》杂志上的这篇文章中，芒氏根据 里查逊的数据绘制了6条海岸线的“双对数图”，展示了存在6条直线(只有一条略弯曲)，这些直线的斜率就 代表海岸线 的分维值。
这篇文章的第二张图示意了如何用几种“生成元”导出不可求长的
(nonrectifiable)的自相似曲线。后来芒氏用柯赫曲线来说明海岸线问题。80年代后，生成元与L系统理论和计算机 图形学结合起 来，引起不小的热潮。
从这个实例可以看出，分形几何非常直观、简单，比现在任何一种数学都简单几 百倍，似乎 没什么了不起。但第一个吃螃蟹的人不容易，第二、第三个吃者也不简单。对于分形几何学中相当多内容，即使芒氏也不是第一个吃螃蟹的人，但他使吃螃蟹成为了时尚。他做的许多 贡献都是这 种性质的，他最终将毫无头绪的“杂多”综合在一起，创立了分形科学。
贯穿始终的一条线索
除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括 什么?如果 去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般般，但也许以后会 变得重要。 无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项：
1)发现莱维(Paul Levy,1886-1971)稳定分布的重要性，并应用于经济学、布朗 运动、星系分布等领域；
2)用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；
3)［重新］发现M集合，推动了复迭代的复兴和计算机图形学的发展； 4)在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；
5)提出“分形”概念和“多分形”(multifractal，也译作“多重分形”、“多 标度分形”) 思想，为不规则现象、临界现象研究树立了一面新的旗帜； 6)促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。
在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究 他曲折的学 术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”(做广义的理解)。他在工程技术中(或者用中国话来说，在生产实践中)发现问题，总结出带有规律性的东西，进 而将它们上 升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。 直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到 芒
氏那里还 有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。
芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直 接从随机变 量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的话题，应让读者立即产生几何直觉。无论是研究词频分布、通讯系统的噪声、价格变化，还 是布朗运动 、湍流、星系结构，芒氏都用了“自相似”这一貌似简单的思想。他的思路这这样的：
自相似性≡尺度变换下的一种对称性→双曲分布→非高斯稳定分布→巧妙利用了 方差为无穷的“病态”性质→莱维飞行→各种应用(海岸线、皮亚诺曲线、门格尔/谢尔宾斯基海绵等) →分维测度→ 分形几何→自相似性→……
芒德勃罗曾说：“与分形关系最紧密的是双曲概率分布”(见《大自然的分形几 何学》第38 章)。他最早接触的词频分布与收入分布研究，都涉及这一主题。在我们分析的上述方案中，特别突出了目前一般分形著作不太重视的“非高斯稳定随机过程”。 芒德勃罗从事的第一个科研实践(实际上仍然理论气十足)是研究通讯中的噪声和 词频的分布 ，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性 。这个线索 沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值 远未开发完 毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动(FBM)的兴趣，对莱维飞行(Levy flights)的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。
那么这个线索是什么呢?就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布”
(Levy’s stable distributions)。莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几 乎不知道这个 伟大人物了。当年在法国综合工科学校，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。后来有人问芒氏是否是莱维的学生。芒氏的回答很有趣：“不，许多人 后来都声称 是莱维的学生，但莱维特别否认他有什么学生”。芒氏讲的“学生”(student) 换成“弟子”(disciple)大概更恰当些。
芒德勃罗大约在1960年左右真正意识到非高斯型稳定分布的意义，从此他坚定信 念，不为外 界各种反对、批评所动，连续将这种思想应用于经济学、流体力学以及天文学。 在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想 象得出的好 性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了 人们对这种 完美分布的向往。维纳(Norbert Wiener,1894-1964)成功地发展了一套关于布朗 运动的漂亮数学理论。如今人们称布朗运动往往有两种含 义，一种指物理上实在的微粒运动 导致的宏观过程，另一种则指维纳的那些纯粹数学。实际上维纳在研 究布朗运动随机过程时所用到的分布只是高斯正态分布。
数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一 切物理现象 ，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里(甚至到现在仍然如此)，数理统
计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流 行观念是错 误的。 经济学中的“稳定分布”
现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文(也许会有几篇的出入)，主要涉及《 经济学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》、《交叉科 学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年刊》、《应用经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心 的经济问题 ——收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他对经济学中的帕累托(Vilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开 始了，然后在法国里尔 大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非 正统观点， 但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。
米罗夫基(Philip Mirowski)1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团 体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽 风头，经济 学家受“浑沌”(chaos)的影响,间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的 方面，也不 相信芒氏的理论。
芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律(Paretos law) 开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律( George Kingsley Zipf‘s law)。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具 有如下特点： N=N_0x-b，
其中N_0是总人口数，x是收呻水平，N是收入不低于x的人口数，b为参数。芒德勃罗后 来将指数b解释 为分维数D。这个公式的含义是，收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。现在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者别的统计程序实际导出过这个公式， 他当时认定 收入分布对于人为干预是不变的。用概率的观点表示，此定律的形式为： 1-F(u)=Pr(U(t)＞u)～(u/u*)-α～Cu-α,
其中α称帕累托指数，一般介于(1，2)之间，有时也可以达到(4，5)之间。此式与上面 的公式是等价 的。芒德勃罗也称P(u)=Pr(U＞u)=Fu-D类型的分布为双曲分布 (hyperbolic distributions)。
直到芒德勃罗1960年左右开始将帕累托分布重新用于经济学，此分布在经济学界 几乎没什么 影响。他的论文《帕累托-莱维定律与收入分布》、《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》、《某些推断价格的差分》、《帕累托分布与收入最大化》、《统计经济学的新方法》等 发表后，经 济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为
芒氏的理论需要微观证据。
芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾(fat tails) 现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这 样的“尾巴 ”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。
简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总 和(linear aggregation)后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过 程是稳定过 程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢? 这正是芒德勃罗急于思考的。实际上他的老师们已经解决了这个问题，莱维和弗雷歇(Maurice-Rene Frechet,1878-1973)细致地研究过类似问题，指出负幂律分布就是一种重要的稳定 分布(其中指数满足关系0＜b＜2)。芒氏1961年的文章《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》就是献给 综合工科学校的莱维教授的，而1962年的文章《帕累托分布与收入最大化》则是献给巴黎大学(Sorbonne)的弗雷歇教授的。在芒氏的文 章中，帕累 托分布也称帕累托-莱维分布。
芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅 凭这一点就 值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳(Boyle)的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类 型，一种简单 的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想 气体(perfect gas)模型没有价值一样，也不能说帕累托-莱维 分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看， 经济学界对他的反驳其实均不构成 威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题 的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹(Edward Lorenz,1917- )的《确定性非周期流》 一文(在非线 性科学史上具有重要地位)也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的 实际意义。 也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久 后就将莱维 稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。
以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特 定层次产生 价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价 格变化是随 机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把 不同层次统 一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了 它。但经济 学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。
在研究股票价格变化时，芒氏极力反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬 牛顿力学于 经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基
于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理 (scaling principle)。
设X(t)为价格，logX(t)是独立增量过程，即logX(t+d)-logX(t)具有独立于 d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首 先要面对的是 这种模型的奇怪性质(实际上这竟是他所期望的)。芒氏大胆地假设
logX(t+d)-logX(t)具有“无穷方差”! 他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无 穷方差综合 症”。具有反叛色彩的芒氏假定V=∞自有他的考虑：“不用说，假定V=∞的成功后果是，我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”(第37章)于是后来提到的 “英国海岸 线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经 有了基本结 论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规 划，以一种 更直接、更通俗、更符合逻辑顺序(发现过程并不符合通常的逻辑)的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。
到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评价， 在此之前 克拉克(P.Clark)的博士论文以及后来的自回归条件异方差(ARCH)、广义自回归条件异方差( GARCH)模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一 个变化的二 阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均(ARIMA)的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法 (Grassberger-Procaccia两人提出的)求时间序列的分维数，用BDS统计(Brock -Dechert-Scheinkman三人在关联积分的基础上发明的)检查经济系统中是否存在非线性结 构。但是正如 米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥浑沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论 就是随机论 ”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者浑沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路，由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上 芒德勃罗采 用的是一种类似统计物理/热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。
当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么?他似乎高兴地带走了价格变动的自相 似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。布朗运动与莱维飞行
1785年荷兰医生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次报告了布朗运动， 他发现花粉颗粒在酒精溶液表面运动。但这种现象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)这个名字。布 朗1828年发 表了他的更细致的观察和研究。这种现象直到1905年，才由伟大的爱因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子运动论一举阐述清楚，布朗运动是由于流体分子热运动不 断撞击微小颗 粒造成的宏观现象。
实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股 票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼-柯尔莫哥洛夫链的方程，并 导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理