修改后、语气有 所缓和的稿 子。
克兰茨还特别提到要把目前不适当归于“分形”标题或者大伞之下的真正数学拿 走，至少是 划清界线，他认为分形几何学只是一个空架子。他认为像“轮廓使人想起一只狗的头，上部 像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分维数D比欧氏空间维数E要大0.2到0.3的形状似乎特别多。典型的海岸线 的分维大约是1.2，地形约为2.2，而云彩约为3.3”这类描述根本不像是科学。“当人们翻开这两本书时，似乎分形几何是一门科学，显然指数学。但是我在两本书 中任何一处 看不到一个定理，也几乎没有定义。如前面指出的，对‘分形’一词没有明确的定义。作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头。”“我不认为芒德勃罗证明了任何定理 作为他的研 究结果，不过这也并非他所声称要做的事。用他自己的话，他是一位科学哲学家。”“芒德勃罗建议分形几何学家也利用计算机作图来提出假设和猜想。但作分形研究的人 提出的假设 和猜想是就事论事的，他们产生图形是为了得到更多的图形，而不是为了得到更深刻的思想。即使这些图形偶然会使熟练的数学家证明出好的定理，这似乎是碰碰运气而已 。”
克兰茨的书评特别评论了关于复迭代的研究，他故意抬一个贬一个，认为道阿迪 和哈伯德(J .H.Hubbard，道阿迪以前的学生)的工作继承了朱丽亚和法图(Pierre
Fatou,1978-1979)的 传统，是真正 出色的数学。“‘芒德勃罗集(简称M集)’并不是由芒德勃罗发明的，很清楚在“芒德勃罗集”这个词被 制造几年之前，文献中就清楚地出现过(指布鲁克斯(Robert Brooks)等人1978年的会议论文，1981年出版)。事实上法图和朱丽亚早就研究了迭代函数 z→z2+c，如今 芒德勃罗至少是由于与这此有关，而得到不少荣誉。”克兰茨还就“ 外尔斯特拉斯-芒德勃罗函数”的命名提出疑问，不过这算不了什么，芒氏也巧妙地作了回 答:实际上作 这样称呼的是著名科学家伯瑞(Michael Berry),WM函数具有自仿射性质，而W函数不具有。
克兰茨认为虽然道阿迪等对动力系统、迭代函数作了出色研究，“但是这些数学 家们不研究 分形，他们证明漂亮的定理。分形几何之所以得到数学界如此高的赞扬，实际上是间接称颂道阿迪、哈伯德、沙斯顿(Willian Thurston)和其他人的工作。”“我发现麻烦的是，公众 对于当今数 学家们正在从事的工作的理解大部分是由于读了关于分形的书，读了格莱克的《浑沌》(Chaos)一书，读了那些包含长期间的猜测和不正确的证明的书籍，来获得的。 ……这两部书造成 了可怕的误导。分形理论和浑沌理论还处于襁褓中。现在就讲述它们是否能篷勃发育为成熟的学科为时尚早。”［１４］
克兰茨的文章还挑起了另一个敏感问题：“对分形理论的过分宣传导致了对数学 发展的有害 的官方政策。在一些圈子中，得到购买产生分形图形的硬件的经费，比支持研究代数几何来得容易。代数几何是经得住时间考验的，而分形几何还没有，人们一定会奇怪，是怎样的考 虑导致这样 的经费资助决策。我个人的看法是，官僚机构比较容易认同对硬件的投资而不是对思想的投资。无论怎样，对这种政策造成的长期效果的预测令人沮丧。”。最后的结论是 ：“关于它 们形成一门新的学科，或者形成自然界中一种新的分析语言这一断言，我想说，分形理论在这方面所作出的贡献是非本质的。总之，皇帝没有着穿衣。” 克兰茨的批评十分坦率，有不少也的确击中要害，但总体上似乎过火了，多少有 些“红眼病 ”之嫌。我们还是看看芒德勃罗的反应吧。
他先作了一个有趣的开场白：“看看数学的历史，数学界回到了具有灵活性和多 元
论的时代 ，每个人都有权力表明他的心情。”之后着重就“芒德勃罗集”的优先权作出了反应，这对他来说的确很重要，公众(特别是能够上微机作图的人)主要是由芒德勃罗集而知道分形的。 自然扯到布 鲁克斯与马蒂尔斯基(J.Peter Matelski)1978年写成1981年发表出来的文章(刊于一部论文集中)。准确说，虽然芒德勃罗于1979-1980年也研究了二次复迭代，大概也独立 发现了M集， 但布鲁克斯发现得更早些。论文写成时间一个是1978年，一个是1980年(或者再早些算1979年)；但发表时间正好倒过来了，一个是1981年，一个是1980年。论文集显 然比杂志论文 刊出周期长。芒氏不愿承认发现的先后，但又不好正面反驳，于是找到另外几个理由：1)指出布鲁克斯只给出了M集的粗糙版本；2)是芒德勃罗本人大力宣传了M 集；3)正是芒德勃罗 吃饭的时候花大量时间向道阿迪讲述M集，促使道阿迪与其学生哈伯德暂时放下手头的工作而专心研究M集的性质。芒德勃罗指出，他在沙利文(Dennis S ullivan,也是道 阿迪以前的学生)的CUNY讨论班上向米尔诺(J.Milnor)和沙斯顿讲述M集时，M集还不曾归于任何人的名下。［14］
M集合究竟是怎样开始冠以芒德勃罗的名字，现在还不清楚。但这并不是什么了 不起的 事情，数学史上张冠李戴的事多着呢。比如：1)计算机辅助几何设计中，利用伯恩斯坦(Ber nstein)多项式可得出工程设计中非常有实用价值的比泽尔(Pierre
E.Bezier,1910- )曲线，这种算法雪 铁龙汽车公司工程师卡斯特乔(de Casteljau)也独立地做了同样的工作 ，只是没有宣传。［39,40］2)利用复函数去计算实积分的值，欧拉 (Leonhard Euler,1707-1783)和拉普拉斯(Pierre-Simmon Laplace,1749-1827)都有优先权。3)在常 微分方程研究中 ，关于富克斯(Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902)型函数和克莱因(Chri stian Felix Klein，1849-1925)型函数也存在一些争 议。庞加莱将克莱因研究过而富克斯没有研过的那种函数命名为富克斯型函数，遭到克莱因的抗议，于是庞加莱马上将自己新发 现的一种函 数命名为克莱因函数，然而克莱因本人从来没有考虑过这种函数!［41］
芒德勃罗在为自己争优先权时不小心又伤了布鲁克斯，后者1990年在第1期《数 学信使》中 反驳了芒氏。布鲁克斯在给编辑的信中说：“至于谁发明了现在称作芒德勃罗集的东西，我 认为应当牢记：大约在20年代法图的头脑中对此就有一幅完整的图象。毫无疑问，如果法图有机会接触现代计算机的话，他就可能并且已经绘制出马蒂尔斯基、芒德勃罗和我60年后画 出来的完整 图形。这么多年来，工作在这一领域的其他许多人也一定能够做到。坦率地说，生活在计算机革命的时代，我很难自作主张拥有某种荣誉。”
芒德勃罗曾说：马蒂尔斯基和布鲁克斯只是接近于那种将被证明是特殊的东西， 但他们对于 这幅图形并没有理解。布鲁克斯反问道：“我不知道他对我们理解什么或者没有理解什么，怎样那么有把握!我们特别不喜欢发表带有哲学思辨性质或者半生不熟的方案。要害在于句 子的前半部分 。在所有这些大吵大嚷之后，如果芒德勃罗真的相信这个集合有些特殊，那么他一定言不由衷。正如英国海岸线没什么不同于世界上所有其他海岸线一样，芒德勃罗集也 只是整个奇 妙的数学宇宙中的一个(当然既不是第一个也不是最后一个)，它反射出自然界与思维世界中各种类型的美与精巧。”
在1990年第1期《数学信使》中还刊发了卡丹诺夫对上述讨论的回应，不过他只 字未提孰是 孰非，而是补充评论了一下先前提到的两部书，这为它们很有价值，其中的一部他还推荐给自己的学生阅读。
另外芒德勃罗还就克兰茨说他是“科学哲学家”进行了辩白，说那只是克兰茨的 论
断。芒氏 称自己是“实干家”(doer)，写的文章也都发表在实实在在的数学、科学和艺术杂志上。很 清楚，在他们的争论中，双方都认定“科学哲学家”只是一些善于夸夸其谈、只知道评论别人工作的一伙 人。实际上呢?大家心里都清楚。
克兰茨并不服输，1989年第4期《数学信使》还为他留了一小块再反驳的空间， 他讲了这样 一段再次让芒氏难受的话：“布鲁克斯和马蒂尔斯基的思想是在1978年的一次会议上提出的，至于芒德勃罗的早期贡献可能在1979年到1980年之间。《今日物理学》的编辑列维在1986 年4月的文章 中介绍了卡丹诺夫的工作，这工作用的是统计力学方法而不是分形几何方法。列维描述这一深刻的科学研究工作时用了分形的语言，芒德勃罗表示默认，这正好提供一个 例子，说明 分形几何学家借用其他学科的出色成果来装点自己的倾向。” 抛开情感因素，克兰茨对分形几何的批评是有意义的，分形几何的确存在他所指 出的若干不 成熟性、不严格性，但是这不应该归罪于一个人，特别不能归罪于为这一新学科做出重大贡献的创始人芒德勃罗。责任应该由科学共同体集体承担，其中他自己也有份。当然由于涉及 一些个人利 益，芒德勃罗过分敏感，作为领袖他主动应战。实际上芒德勃罗并没有争回什么 (M集的命名已成事实，谁也改变不了)，反而影响了自己的公众形象，使人觉得他是一 个过分计较的人。 芒德勃罗大概没有研究过大众传播学，他应该知道，人不出名时，公开的争论对自己有利，而当自己出名时，公开争论只能给自己抹黑。
有人曾说芒德勃罗这个人有才无德，他与几乎所有同事都争执，甚至把别人指责 他的把戏转 手