课时跟踪检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量的应用举例
1．(2012·豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝( )
A.10 C.2
B.D.10
22 2
2．(2012·山西省考前适应性训练)已知向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为( )
A.13 C.65
B.D.13 565 5
3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝2，则n·BC等于( )
A．－2 C．0
B．2 D．2或－2
4．(2012·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝( ) A.3 B.7 C．22 D.23 5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝A．30° C．120°
23|a|，则a＋b与a－b的夹角θ为( ) 3
B．60° D．150°
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6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b
32的夹角θ的取值范围为( )
π
0，? A.??6?π?C.??3，π?
π?
B.??6，π? π2π?D.??3，3?
7．(2012·安徽省“江南十校”联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是________．
8．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
9．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，
AD的值为________． 则(AB＋AC)·
10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°. (1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
1311．设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝?－，?.
?22?(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．
12．已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|＝3，|b|＝1，x为正实数． (1)若a＋2b与a－4b垂直，求tan θ；
π
(2)若θ＝，求|xa－b|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量a与xa－b是否垂直．
6
1．设a，b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
2．(2012·石家庄质检)△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2AM，则CM·CA＝________.
3．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)． (1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
答 案
课时跟踪检测(二十八)
A级
1．选C 依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝?－1?2＋12＝2.
a·b2×?－4?＋3×765
2．选D 依题意得，向量a在b方向上的射影为＝＝.
|b|5?－4?2＋72BA＋n·3．选B n·(BA＋AC)＝n·(－1，－1)＋2＝0＋2＝AC＝(1，－1)·BC＝n·
2.
4．选A ∵AB·BC＝1，且AB＝2， ∴1＝|AB||BC|cos(π－B)， 1
∴|BC|cos B＝－.
2
在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 1－?. 即9＝4＋|BC|2－2×2×??2?∴|BC|＝3.
5．选B 将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得a·b＝0； 231
将|a－b|＝|a|两边同时平方得b2＝a2，
33?a＋b?·?a－b?a2－b21
所以cos θ＝＝＝，θ＝60°.
422|a＋b|·|a－b|
a3
11
6．选C f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不
32同的实数解，
1
故Δ＝|a|2－4a·b＞0?cos θ＜，
2又θ∈[0，π]， π?
所以θ∈??3，π?.
7．解析：设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0， 12π∵|a|＝2，∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·cos θ＝－4，又|b|＝4，∴cos θ＝－，即θ＝.∴向量a，
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