2π
b的夹角为. 3
2π答案： 3
8．解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝∴|2a－b|2＝4－4×∴|b|＝32. 答案：32
1
9．解析：|BC|2＝|AB|2＋|AC|2＝8，|AD|＝|BC|，AB＋AC＝2AD，(AB＋
2
2
|b|， 2
2
|b|＋|b|2＝10. 2
AD＝2AD·AD＝2|BC|2＝4. AC)·
答案：4
10．解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝5， |b|＝n2＋4， ∴cos 45°＝2
＝，
5·n2＋422n－2
1
∴3n2－16n－12＝0(n>1)，
2
∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．
3(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5. 又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)． ∵(c－a)·a＝0，
|a|251∴λb·a－|a|＝0，∴λ＝＝＝，
b·a102
2
1
∴c＝b＝(－1,3)．
2
13?
11．解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－??4＋4?＝0， 所以a＋b与a－b垂直．
(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得 3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－23a·b＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0. 而|a|＝|b|，所以a·b＝0，
13－?×cos α＋×sin α＝0， 则??2?2即cos(α＋60°)＝0， 所以α＋60°＝k·180°＋90°， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z.
又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°. 12．解：(1)由题意，得(a＋2b)·(a－4b)＝0， 即a2－2a·b－8b2＝0，
得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 1
得cos θ＝.又θ∈(0，π)，
6所以sin θ＝1－cos2θ＝ sin θ
tan θ＝＝35. cos θ(2)|xa－b|＝?xa－b?2 ＝x2a2－2xa·b＋b2 ＝ ＝
π9x2－2x×3×1×cos＋1
69?x－
1?2351－?＝， ?6?6
?
3?21
＋， 6?4
故当x＝
31时，|xa－b|取得最小值为， 62
3π
×9－3×1×cos＝0，故向量a与xa－b垂直． 66
B级
此时a·(xa－b)＝xa2－a·b＝
1．选C ∵|a＋b|＝|a|－|b|，∴(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.∵a·b＝|a||b
a，b，∴
a，b＝－1，
∴a，b＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．
2．解析：由BM＝2AM可知，A是线段MB的中点，如图所示．
∵AC⊥BC，且CA＝CB＝3，
∴CM·CA＝(CA＋AM)·CA ＝(CA＋BA)·CA ＝(CA＋CA－CB)·CA ＝(2CA－CB)·CA
＝2CA2－CB·CA＝2×32＝18. 答案：18
3．解：(1)∵AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)， ∴DA＝－AD＝(－x－4,2－y)． 又∵BC∥DA且BC＝(x，y)， ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0.①
(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，
BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，
又AC⊥BD， 所以AC·BD＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.② 联立①②化简，得y2－2y－3＝0. 解得y＝3或y＝－1. 故当y＝3时，x＝－6，
此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)， 1
所以SABCD＝|AC|·|BD|＝16；
2当y＝－1时，x＝2，
此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)， 1
∴SABCD＝|AC|·|BD|＝16.
2