[练习44]（2003年江苏，21）已知a?0，n为正整数。设y??x?a?n，证明
y??n?x?a?n?1；
（1） 设
fn?x??xn??x?a?n，对任意n?a，证明fn?1??n?1???n?1?fn??n?
解析：证明：（1）??x?a?n?knk??Cn??a?k?0nnn?kxk,
?y???kCk?1nkn??a?xk?1k?1??nCn?1??a?k?1n?kxk?1?n?x?a?n?1
（2）对函数
fn?x??xn??x?a?n求导数：
n?1fn??nxn?1?n?x?a?，
n?1?fn??n??n?nn?1??n?a??.当x?a?0时，fn??x??0
???当n?a时，fn?x??xn??x?a?n是关于x的增函数因此，当nn?a时，
?n?1?n??n?1?a??nn??n?a?n。
nnnn?1?fn?1??n?1???n?1???n?1???n?1?a????n?1??nn??n?a????n?1??nn?n?n?a??????????n?1?fn??n?即对任意n?a，fn?1??n?1???n?1?fn??n?.
【易错点45】求曲线的切线方程。 例45、（2005高考福建卷）已知函数f（－1））处的切线方程为6x?，且在点M（－1，f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0，2）
y?7?0. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；
【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析：（Ⅰ）由
32，知d=2，所以f(x)?x?bx?cx?2, f(x)的图象经过P（0，2）
f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.?3?2b?c?6,?2b?c?3,32??即?解得b?c??3.故所求的解析式是f(x)?x?3x?3x?2. ??1?b?c?2?1.?b?c?0,【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，
求得切线方程为
如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平y?y0?f'(x0)(x?x0)特别地，
行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.
【练45】（1）（2005福建卷）已知函数
?x0。利用导数的几何意义作为解题工具，
f(x)?ax?6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为2x?bx+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：
f(x)?2x?6
x2?3（2）（2005高考湖南卷）设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x3?ax与g(x)?bx2?c的图象的
?ab??t3.故
一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：ca??t2，b?t，c??t3.
【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。
例46、( 2005全国卷III)已知函数
4x2?7f?x??，x??01，?（Ⅰ）求f?x?的单调区间和值域；
2?x（Ⅱ）设a22?1，函数g?x??x?3ax?2a，x??01，，，?，若对于任意x1??01?，总存在x0??01?使得g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围。
y?g?x?在区间?01，?上的
【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解
不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数值域是函数
f?x?的值域的子集，从而转化为求解函数y?g?x?在区间?01，?上的值域。
?4x2?16x?7解析(Ⅰ)
f?(x)??2?x?22??(2x?1)(2x?7)?2?x?22，令
f?(x)?0解得x?12或
x?72,在
11x?(0,)，f?(x)?0,所以f(x)为单调递减函数；在x?(,1)，f?(x)?0,所以f(x)为单调
2271递增函数；又f(0)??,f(1)??3,f()??4，即f(x)的值域为[-4，-3]，所以f(x)的单调递
2211减区间为(0,)，f(x)的单调递增区间为(,1)，f(x)的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).
22（Ⅱ）∵g?(x)?3(x2?a2),又a?1，当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a2)?0，
因此，当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时，有g(x)?[g(1),g(0)].
又g(1)?1?2a?3a任给x1?[0,1]，有
2,g(0)??2a，即当x?[0,1]时，有g(x)?[1?2a?3a2,?2a]，
f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，
a?2。 35?a?1,或a????则?1?2a?3a??43又a?1，所以a的取值范围是1????3?2a??3??a???22【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知
y?f(x) （1）分析 y?f(x)的定义域； （2）求导数
y??f?(x)（3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f?(x)?0，解
集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数
f(x)在
(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)?b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同
理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
3
2
【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，
＋∞）（2）－7
（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960
【易错点47】二项式
?a?b?nn展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。
?2?例47、?x??32x??展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为 。
【易错点分析】本题中若x与23x2的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。
解析：椐题意有：Cn21?22???Cn?2??162,即2n?n?1??2n?162,?n?9
则Tr?1?C9r?x?39?r9?r2r??2?9?r2rrr23??1,?r?3 由??32??C9???2??x23x??r3?T4???1??23?C9x??672x
【知识点归类点拨】二项式
?a?b?n与?b?a?n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在
遇到类似问题时，要注意区分。
?41?【练47】（潍坊高三质量检测）?x?11?x??数项为 。 解析：据题意有
n展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常
??1?4411Cn???1?Cn11，即
4n?411411,?n?4?11,?n?15 ?Cn?Cn?CnCn?Cnr?1?r60?15r令60?15r?0,得：r?4故展开式中常数项为：???11????1?C15x?x?rTr?1?Cr15?x?415?r??1?44C15?1365
【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。
?32?例48、在?x?2?x??5的展开式中，x的系数为 ，二项式系数为 。
5【易错点分析】在通项公式Tr?1解析：令15?5rr?C5?2r?x15?5r中，C5r是二项式系数，C5r?2r是项的系数。
22?5，得r?2，则项x5的二项式系数为C5?10，项的系数为C5?22?40。
【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。
1?1?【练48】（2005高考山东卷）如果?3x?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数?332xx??是（ ）（A）7 （B）?7 （C）21 （D）?21 答案：当xn?1时(3?1?1312r)n?2n?128,?n?7即(3x?23r57?r313x2)7,根据二项式通项公式得
Tr?1?C(3x)r77?r(?1)(x)?C3?r77?r(?1)xr?7?5r??3,r?6时对应31x3,即
67?6T6?1?C73(?1)611121故?7?3??.x3x3x3x3项系数为21.
【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在次往往因为概念不清导致出错。
2??例49、已知?x?2??n?N??的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为10：1
x??求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。
【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得，即当n为偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间两项的二项式系数相等，同时取得最大值，求系数的最大值项的位置不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定。 解析：由题意知，第五项系数为Cn4n???2?4，第三项的系数为Cn2?(?2)2，则有
4Cn???2?2Cn???2?42?10，1r?1r?1rrr?1r?1?n?8设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为C8?2,C8?2,C8?2，r?1r?1rr??C8?2?C8?2若第r+1项的系数绝对值最大，则?，解得：5?r?6?
r?1r?1rr??C8?2?C8?2系数最大值为
T7?17921x11由n?8知第五项的二项式系数最大，此时T5?11201x6
【知识点归类点拨】在
?a?b?n的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大
?Tr?1?Tr系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组?来确定之。
T?T?r?1r?2【练49】（2000年上海）在二项式果用数值表示）
解析：展开式中第r+1项为C11?x得rr11?r?x?1?11的展开式中，系数最小的项的系数为 。（结
???1?5r，要使项的系数最小，则r为奇数，且使C11为最大，由此
r5???1???462。 ?5，所以项的系数为C11【易错点50】对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。 例50、有六本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中1人1本，1 人两本，1人3本； （3） 平均分成三组，每组2本； （4） 分给甲、乙、丙三人，每人2本。
【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题，分给三人与顺序有关，是排列问题。
解析：(1)分三步：先选一本有C6种选法，再从余下的5本中选两本，有C5种选法，最后余下的三本全选有C3种选法，有分步计数原理知，分配方式有：C6?C53123?C3?60
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