特殊角的锐角三角函数值
特殊角的三角函数值 三角函数 角度α 30° 45° 60° sinα 1 22 23 2cosα 3 22 21 2tanα 3 31 3 方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30°、45°、60°角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。
（2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角。
（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）。
总结：
1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。 2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。
例题1 如图所示，已知直线y＝3x＋3，求这条直线与x轴的夹角（锐角）。
yBAOx
解析：直线与x轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可求解。
答案：设y＝3x＋3与x轴、y轴交点为A、B两点，则A（－1，0）、B（0，3），∴OA
OB
＝1，OB＝3．∴tan∠BAO＝＝3，∴∠BAO＝60°。
OA
答：直线与x轴夹角（锐角）为60°。
点拨：本题关键利用Rt△AOB来求出OA、OB，进而求出∠BAO的正切值，最后求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法。
例题2 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线
AC
EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E。探索：设＝t，若△ADF∽△EDB，
AB试求t的值。
1
FADBEC
解析：t的值就是△ABC两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出AC与AB的数量关系，再求其比值。或者能求出∠ABC或∠C的度数也可以，因为∠BAC＝90°，在直角三角形中利用三角函数求t值。
答案：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，∠ADF＝∠CDE，∴∠F＝∠C。 ∵∠ABD＝∠C，∴∠F＝∠ABD。
∵△ADF∽△EDB，∴∠F＝∠EBD，∴在Rt△ABC中，∠C＝∠ABD＝∠EBD，又∠C＋∠ABD＋∠EBD＝90°，∴∠C＝∠ABD＝∠EBD＝30°，∴∠ABC＝60°。
AC
∴＝tan∠ABC＝3，即t＝3。 AB
点拨：本题中t值是∠C的正切值，所以需要求出∠C的度数．要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为90°。
锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择题的形式出现，一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。
满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
1322
sin30°＝，cos30°＝，则sin30°＋cos30°＝__________①；
22sin45°＝sin60°＝……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sinA＋cosA＝__________④。
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
2
2
2222
，cos45°＝，则sin45°＋cos45°＝__________②； 223122
，cos60°＝，则sin60°＋cos60°＝__________③； 22
2
BAC
3
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA。
5
BDAD
解析：（1）证明：过点B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，sinA＝，cosA＝，由勾
ABAB
22
BD2AD2BD+AD22222
股定理得，BD＋AD＝AB，∴（）＋（）＝＝1，∴sinA＋cosA＝1；（2）∵∠2
ABABAB34222
A为锐角（cosA＞0），sinA＝，sinA＋cosA＝1，∴cosA＝1－sinA＝。
55点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的
sinA22
关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sinA＋cosA＝1，类似的还有tanA＝等。
cosA
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）的值是（ ） A. 23
B. 0
C. 23
D. 2
2. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC与BD相交于O，则tan∠AOB等于（ ）
33
A. 3 B. C. 1 D. 32
AD2
O
*3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是2，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的长是（ ）
A. 2
B. 22
C. 2
3
D. 2
BC 3
65432178910111213
**4. 如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ） A. 2 2
B. 2－2
2
C. 2＋2
2
D.
2 4
二、填空题
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝③tanA＝31；②cosB＝；22
3
；④tanB＝3，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）。 3
*6. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。已知a＝10，b＝3＋2，c＝3－2，则bsinB＋csinC的值是__________。
*7. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tanB＝__________。
**8. 如图所示，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是__________。
CBαl1l2l3
A
三、解答题
4
9. 已知a是锐角，且sin（α＋15°）＝1?1
＋））的值。
3
30
，计算8－4cosα－（π－3.14）＋tanα2
**10. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°－α），cosα＝－cos（180°－α）。 （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A、B是这个三角形的两个顶点，sinA、cosB是方程4x－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小。 **11. 如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm。
（1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）。 （2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）。
2
**12. 现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα＝m，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m来表示α，记作：α＝arc sin m；若cos α ＝m，则记α＝arc cos m；若tan α＝m，则记α＝arc tan m。
解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上。连接ED、FG，交点为H。
（1）如图1，若AE＝BF＝GD，请直接写出∠EHF＝__________°；
22
（2）如图2，若EF＝CD，GD＝AE，设∠EHF＝α。请判断当点E在AB上运动时，∠EHF
55的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α。
AEGHDAHGDBF图1CEBF图2C
5
3
1. B 解析：原式＝2×－1－（3－1）＝3－1－3＋1＝0．故选B。
2
2. A 解析：因为ABCD是矩形，所以AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。∵AB＝1，BC＝3，∴tan∠CAB＝3，∴∠CAB＝60°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°。∴∠AOB＝180°－60°－60°＝60°，tan∠AOB＝tan60°＝3。故选A。
3. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开始倒序计算至标有“2”的等腰直角三角形的斜边长。
4. B 解析：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，∴OD＝AD＝
22222
OA?cos45°＝×1＝，∴BD＝OB－OD＝1－，∴AB＝AD+BD＝2－2，∵AC是⊙O
222AB2＋2
的直径，∴∠ABC＝90°，AC＝2，∴sinC＝＝，故选B。
AC2
BC1
5. ②③④ 解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝，故①错误；AB2
1
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴cosB＝cos60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30°
2＝
3
，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝3，故④正确。 3
2
2
2
6. 10 解析：不难验证，a＝b＋c，所以△ABC是直角三角形，其中a是斜边，bsinB
bcc2＋b2a2
＋csinC＝b·＋c·＝＝＝a＝10。
aaaa6
解析：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝90°，3
BDAD
∠BAD＋DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴＝，∵BD：CD＝3：2，设BD
ADDC7.
AD6x6
＝3x，CD＝2x，∴AD＝3x·2x＝6x，则tanB＝＝＝。
BD3x3
10
解析：分别过点A、B作AE⊥l1，BF⊥l1，易得△AEC≌△CFB（AAS），设平行线10
d1
间距离为d＝1，∴CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝5，AB＝10，则sinα＝＝＝
AB108. 10
。 10
6