孝感高中2010—2011学年度下学期期中考试
高二数学（文科）
命题人：向艳 考试时间：2011年4月28日上午8：00—10：00
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.集合B?{x(x?3)(x?1)?0,x?N}，集合A?{?1,0,4}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.{4}
B.{4,?1} C.{4,5} D.{?1,0}
2.已知不等式x2?ax?4?0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ） A.?4?a?4
B.?4?a?4 D.a?4或a??4
C.a??4或a?4
3.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??x3?81x?234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）万件 A.13
B.11
C.9
D.7
134.若a?1,0?b?1，则下列不等式中正确的是（ ） A.ab?1
5.已知a,b?R，i为虚数单位，a?(1?i)2? A.
B.ba?1
C.logab?0
D.logba?0
2b，则函数f(x)?sinaxcosbx的周期是（ ） 1?iC.3?
D.4?
? 2 B.?
6.实数a、b、c是图象连续不断的函数y?f(x)定义域中的三个数且满足
a?b?c,f(a)?f(b)?0,f(b)?f(c)?0，则函数y?f(x)在区间(a,c)上的零点个数为（ ）
A.2
B.奇数
C.偶数
D.至少是2
1?x21117.设g(x)?，则g()?g()?g()?g(2)?g(3)?g(4)=（ ）
1?x24323535 A. B.? C.0 D.1
12128.设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)满足f(1?x)?f(1?x)，则f(3x)与f(4x)的大小关系是（ ） A.f(3x)?f(4x) C.f(3x)?f(4x)
B.f(3x)?f(4x) D.f(3x)?f(4x)
9.函数g(x)?x3?mx2?nx?m2在x?1处有极值10，则m，n的值是（ ） A.m??11,n?4
B.m?4,n??11
C.m??4,n?11 D.m?11,n??4
10.已知f(x)是定义在R上的函数，f(?x)?f(x)且f(x)?f(x?2)，当0?x?1时，
f(x)?x2，若方程f(x)?x?a有两个不等实根，那么实数a的值为（ ）
A.2k或2k?(k?z) C.2k(k?z)
14
B.k或k?(k?z) D.k(k?z)
14孝感高中2010—2011学年度下学期期中考试
高二数学（文科）
命题人：向艳 考试时间：2011年4月28日上午8：00—10：00
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卷上） 11.某地为了了解该地区1000户家庭的用电情况，户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭月图（如图所示），则该地区1000户家庭中月平均______户.
12.已知f(x)是偶函数，当x?0时，f(x)?x2?x，则当x?0时，f(x)?______. 13.已知函数f(x)?x3?f`(1)x?x?50，则f`(1)?______.
14.已知P:4?x?6,q:x2?2x?1?a2?0(a?0)，若非p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围为______. 15.设函数y?f(x)在(a,b)上的导函数为f`(x)，f`(x)在(a,b)上的导函数为f``(x),若在(a,b)上，f``(x)?0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知
采用分层抽样的方法抽取了500平均用电量画出频率分布直方
]家庭有用电度数在[70,80的
13f(x)?
141332，则b?a的最大值为______. x?mx?x，当实数m满足m?2时，函数f(x)在(a,b)上总为“凸函数”
1262三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）
已知A?{x?2?x?5},B?{xm?1?x?2m?1}，若B?A，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分12分） 已知a,b?R?且a?b?
18.（本小题满分12分）
如图，VAOB是边长为2的等腰直角三角形，记VAOB位于直线y?x?t(?2?t?2)左上侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式，并画出函数y?f(t)的图象.
19.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin2xsin??cos2xcos??sin(??)(0????)，其图象经过点（,（1）求f(?)的值
（2）将函数y?f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
111，求证：??8
ab21212?2?1） 621，纵坐标不变，得到函数y?g(x)的图象，若关于x的方程2?g(x)?k在[0,]上只有唯一解，求实数k的取值范围.
4
20.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?ax3?bx，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?2x?2. ．（1）求函数f(x)的解析式； （2）过点(2,2)能作几条直线与曲线y?f(x)相切？说明理由. ．
21.（本小题满分14分）
对于定义在集合D上的函数y?f(x)，若f(x)在D上具有单调性且存在区间[a,b]?D（其中a?b）使当x?[a,b]时，f(x)的值域是[a,b]，则称函数f(x)是D上的“正函数”，区间[a,b]称为f(x)的“等域区间”. （1）已知函数f(x)?x3是正函数，试求f(x)的所有等域区间； （2）若g(x)?x?2?k是正函数，试求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数a,b(a?b?1)使得函数f(x)?1?明理由.
1是[a,b]上的“正函数”？若存在，求出区间[a,b]，若不存在，说x
期中考试参考答案（文科）
BCCCA 11.120 14.(0,3]
DCCBA
12.x2?x 15.2
13.1
16.解：当B??时，2m?1?m?1 解得m?2…………………………………（3分）
?m?1?2m?1? 当B??时，由B?A得?m?1??2解得2?m?3…………………（11分）
?2m?1?5?综上可知：m?3??????????????????????（12分）
1得2a?2b?1 211112b2a∴??(?)(2a?2b)?4???4?4?8???????????（10分） abababba1当且仅当?即a?b?时取等号?????????????????（12分）
ab418.由题知A(2,0)B(0,2)，设直线y?x?t交x轴于C，交y轴于D，交AB于M.
17.证明：由a?b?当?2?t?0时
AC?2?t,MC?AM?f(t)?SVAOB?SVACM当0?t?2时
2AC 2(2?t)2?2????????????????????（4分）
422BD?2?t BM?DM?f(t)?SVBDMB D1(2?t)22?BM?????????????????????（8分） 24
?故f(t)??(t?2)2???2,?2?t?0?4(t?2)???????????????????（9分） ?2??4,0?t?2其图象如下????????????????????????????（12分）
19.
解：（1）f(x)?1sin2xsin??1?cos2x22cos??12cos??12(sin2xsin??cos2xcos?) ?12cos(2x??)???????????????????????（3分） 由f(?1?6)?2得cos(3??)?1
∴??3???2k? 又??(0,?)，∴??3????????????????（5分） ∴f(?)?112cos??4????????????????????????（6分）
（2）f(x)?12cos(2x??3),g(x)?1?2cos(4x?3)?????????????（8分）
当x?[0,?4]时，4x??3?[??23,?3，]作出y?12cots在t?[??3,2?3]的图象，?14?k?14????????????????????????（12分） 20. 解（1）f`(x)?3ax2?b，由题知???????????????????（1分）
??f`(1)?2?f(1)?2?2?0???3a?b?2?a?1?a?b?0???b??1 ∴f(x)?x3?x????????????????????????????（5分） （2）设过点（2,2）的直线与曲线y?f(x)相切于点(t,f(t))，则切线方程为： y?f(t)?f`(t)(x?t)
即y?(3t2?1)x?2t3??????????????????????????（7分） 由切线过点（2,2）得：2?(3t2?1)?2?2t3
过点（2,2）可作曲线y?f(x)的切线条数就是方程t3?3t2?2?0的实根个数??（9分） 令g(t)?t3?3t2?2，则g`(t)?3t(t?2) 由g`(t)?0得t1?0,t2?2
当t变化时，g(t)、g`(t)的变化如下表
t (??,0) 0 (0,2) 2 (2,??) g`(t) + 0 - 0 + g(t) ↗ 极大值2 ↘ 极小值-2 ↗ 由g(0)?g(2)??4?0知，故g(t)?0有三个不同实根可作三条切线????（13分）
21.（1）∵f`(x)?3x2?0 ∴f(x)?x3在R上是增函数
则x?[a,b]时，f(x)的值域为[a3,b3]
结合图形知k?12或
又f(x)?x3是正函数
?a?a3??a?0?a??1?a??1或?或?∴?b?b3解得? b?1b?0b?1????b?a?故f(x)的等域区间有三个：[0,1],[?1,0],[?1,1]??????????????（5分） （2）∵g(x)?x?2?k在[?2,??)上是增函数 ∴x?[a,b]时，f(x)的值域为[g(a),g(b)] 若g(x)?x?2?k是正函数，则有
?g(a)?b??a?a?2?k即 ??g(b)?b???b?b?2?k故方程x?x?2?k有两个不等的实根.????????????????（7分） 即k?(x?2)2?x?2?2有两个不等的实根 令x?2?t?0,h(t)?t2?t?2?(t?)2?(t?0)
数形结合知：k?(?,?2]??????????????????????（9分） （3）假设存在区间[a,b]，使得x?[a,b]时，H(x)?1?1294941的值域为[a,b]，又0?[a,b]故ab?0 x当a?b?0时，H(x)?1?1在[a,b]上单增. x1?a?1??1?a∴??a,b是方程x?1?的两负根
x?b?1?1?b?又方程x2?x?1?0无解
故此时不存在???????????????????????????（11分）
1当0?a?b?1时，H(x)??1在[a,b]上单减
x1?a??1??ab?1?b?b∴????a?b,又a?b
1ab?1?a?b??1??a?故此时不存在???????????????????????????（13分） 综上可知：不存在实数a?b?1使得f(x)的定义域和值域均为[a,b]????（14分