§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数
原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，??，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋?＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，??，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×?×mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．
( × ) ( √ )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．
(3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．
( √ )
(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，，?，n)，那么完成这件事共有m1m2m3?mn种方法．
( √ )
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种． 答案 32
解析 每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．
3．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________． 答案 12
解析 由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．
4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有________种． 答案 24
解析 分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．
5．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 答案 14
解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数.
题型一 分类加法计数原理的应用
例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．
(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
思维启迪 用分类加法计数原理． 解 (1)完成这件事有三类方法
第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，
根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法． (2)完成这件事有三类方法
第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法． 综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．
思维升华 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
x2y2
(2)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那
mn么这样的椭圆有多少个？
解 (1)分析个位数字，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1,2,3，?，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，?，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个； 个位是6的有5个； ?
个位是2的只有1个．
由分类加法计数原理，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． (2)以m的值为标准分类，分为五类． 第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择； 第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择； 第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择； 第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择； 第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择． ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法， 即有20个符合题意的椭圆． 题型二 分步乘法计数原理的应用
例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
思维启迪 可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．
解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，
知共有选法36＝729(种)．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．
思维升华 利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数； (2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
解 (1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数． 题型三 两个原理的综合应用 例3 如图所示，将一个四棱锥的每
一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
思维启迪 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．
解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．
当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7
＝420(种)．
方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色． 第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)． 方法三 按所用颜色种数分类．
第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法． 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为
53A5＋2×A45＋A5＝420(种)．
思维升华 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．
用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种
颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A2第4＝12(种)不同的涂法，4个小方格有3种不同的涂法．由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知．有5×4×4＝80(种)不同的涂法．
由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法．