放缩法
知识点拨
数的估算时常用方法
（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．
数的估算(放缩法)
10101010的整数部分． ? ? ???
100101102110【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪两个
连续整数之间．
1010因为a中的11个分数都不大于，不小于，
100110101010101010所以?11??11 ??????
11010010110211010010101010 即１???????1.1
100101102110 由此可知a的整数部分是1． 【答案】1
111111【巩固】 已知 A?1??????，则A的整数部分是_______
245678【考点】数的估算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试
11111111111114【解析】 A?1????????1???????2；
23456784488888【例 1】 求数a?11111111111111141 A?1????????1???(?)?????2???3所以A的整
2345678241245555512数部分是2。
【答案】2
1【例 2】 求数的整数部分是几？
1111????10111219【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第三届，华杯赛，复赛
111???1 【解析】 1111111110????????101112191010101010 111???1.9，即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1.
1111111110????????101112191919191919【答案】1
1的整数部分．
1111?????12131421【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
111???1.2， 【解析】 1111111110??????????1213142112121212121111?11??11?1??11?10?1又????????????????????????5?， 12131421?1221??1320?17?1617??1617?11???1.7， 所以
111110?????12131421171?1.7，所以其整数部分是1． 即1.2?1111?????12131421【答案】1
1【巩固】 已知：S?,则S的整数部分是 .
1111???...?1980198119822006【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2006年，清华附中，入学测试
111818
【解析】 如果全是，那么结果是73，如果全是，那么结果是74，所以73＜S＜74，
20061980327327
不能确定S的整数部分.我们不妨采用分段估值，有： 10107111110107 ??????...????1989199920061980198119822006198019902000【巩固】 求数
则
111??
10107111110107?????...???1989199920061980198119822006198019902000大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！ 下面先让我们来看看两个例子：
11111????19801981198219831984111981?19831982?19822⑴ ????198119831981?19831982?19821982111980?19841982?19822????198019841980?19841982?19821982那么也就有：
111111??????5 1980198119821983198419821111???1980198119821983（2）
111980?19831981?198211?????198019831980?19831981?198219811982 111111????(?)?2?4 198019811982198319811982聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！ 那么也就有：
27111127 ????...??199319801981198220061980则73【答案】73
【巩固】 已知A?，则与A最接近的整数是________．
111????199519962008【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】仁华学校
111【解析】 由于， ????199519962008141111114所以， ??14???????14?1995199519951996200820082008199512008?A??所以，
1111414????1995199620087199520086即142.5?142??A??143?143.5，
14141414那么与A最接近的整数是143． 小结：由于只需要求与A最接近的整数，而不是求A的整数部分，所以进行上述放缩已经足够．但是如果要求A的整数部分，又该如何进行呢？
111111将分母中的14个分数两两分为一组：，，……，(分组的???199520081996200720012002标准在于每组中两个分数的分母之和相等，此处有偶数项，恰好可以两两分组；如果有奇数项，则将中间的一项单独分为一组)，根据“两数之和一定，差越小积越大”， 可知1995?2008?1996?2007???2001?2002，
111所以， ????1995?20081996?20072001?2002111111可得，所以 ???????1995200819962007200120021111?114?1????????2?7?， ??7?199519962008?20012002?200220022002所以A??143，即142.5?A?143，所以A的整数部分为142．
14【答案】142
1【巩固】 的整数部分是________．
1111???????30313249【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
111【解析】 由于30?49?31?48???39?40，所以， ????30?4931?4839?40797979111111，即???????????，
30?4931?4839?403049314839401111?11?1?1?1??????????10?????10?， 所以??30313249?3940?2?4040? 221993??272711111???...?1980198119822006?19801?73，由此可以确定整数部分是73． 273111??2，
11111???????303132492113111112??， 又?????????20?，所以
11112230313249303???????3031324931所以的整数部分是1．
1111???????30313249【答案】1
1【巩固】 的整数部分是 ．
11111????20072006200520042003【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
1【解析】 对分母进行放缩．令s?，
11111????20072006200520042003120033??400， 则s?1111155????20032003200320032003又2007?2003?2006?2004?2005?2005，根据两个数和一定则差越小积越大， 所以2007?2003?2006?2004?2005?2005，
111则，可得 ??2007?20032006?20042005?20051200511111??401， ?????2，所以s?1520072003200620042005?520053即400?s?401，所以s的整数部分为400．
5【答案】400
1111111???????【例 3】 已知N?1????，求N的整数部分．
511192941k?k?1??110099所以
【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成k?k?1??1，对于k?k?1??1不好直接进行处
理，很容易联想到k?k?1?及?k?1?k，所以可以进行放缩． 由于?k?1?k?k?k?1??1?k?k?1?，所以
111??，那么
k?k?1?k?k?1??1?k?1?k111111111111??????1?????????1???1， 2?33?44?5100?10123341001012101111111111111N?1???????1?1??????????2??2，即
1?22?33?499?10022334991001001?N?2，那么N的整数部分为1．
小结：从式子中也可以直接看出N?1，所以对于这一点也可以不进行放缩．
【答案】1
【例 4】 A?8.8?8.98?8.998?8.9998?8.99998，A的整数部分是________. 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第六届，小数报，决赛 【解析】 方法一：A?8.8?5?44 ，A?9?5?45 ，所以A的整数部分是44 .
方法二：将原式变形后再估算
A?8.8?8.98?8.998?8.9998?8.99998
N?1? ?(9?0.2?(9?0.02)?(9?0.002)?(9?0.0002)?(9?0.00002)?45?0.22222 所以A的整数部分是44 .
【答案】44
【巩固】 a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是 。 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】a=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222
所以a的整数部分是54。
【答案】54
【巩固】 已知x?0.9?0.99?0.999???0.9999999999．求x的整数部分． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即a?x?a?1，x的整数部分
和n相等．可以先将原算式放大，把每个加数都看成1这样结果是1?10?10；然后将原算式缩小，把每个加数都看成0.9，结果是0.9?10?9．可见原算式的结果介于10和9之间即9?x?10，所以x的整数部分是9．
方法二：将原式变型后再估算．
x?0.9?0.99?0.999???0.9999999999
?(1?0.1)?(1?0.01)?(1?0.001)???(1?0.0000000001)
?10?(0.1?0．01?0.001???0.0000000001)?10?0.1111111111
所以x的整数部分是9．
【答案】9
【例 5】 计算 8.01?1.24?8.02?1.23?8.03?1.22整数部分.
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第五届，华杯赛 【解析】 方法一：在8.01?1.24?8.02?1.23?8.03?1.22中，各式的两个因数之和都相等.
根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以8.01?1.24?8.02?1.23?8.03?1.22；则有1.22?8.00?3?1.22?8.03?3?原式?1.24?8.01?3?1.25?8.00?3 ，即 29.28?原式?30 ，所以原式的整数部分是29 .
方法二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.03分成整数和小数两部分计算，小数部分可以进行估算
8?1.24?8?1.23?8?1.22?8?(1.24?1.23?1.22)?8?3.66?29.28 0.01?1.24?0.02?1.23?0.03?1.22≈0.01?1?0.02?1?0.03?1?0.06 因为0.06不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是29．
【答案】29
【例 6】 老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出
的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应是___ ___.
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 法1：因为14.7这三个数字正确，14.7×7＝102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，……
等，当和为103时，平均数为103÷7≈14.71，当和为104时，平均数为104÷7≈14．86，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71． 法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70≤平均数≤14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103÷7＝14.71 .
【答案】14.71
【巩固】 有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点
后两位数是多少？
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85?平均数?26.95，则这13个自然数的和
介于13?26.85和13?26.95之间．即在349.05和350.35之间，所以只能是350．所以350?13?26.923，则精确到小数点后两位数是26.92 .
【答案】26.92