05线性（经济）考研真题五

考研真题五1.已知二次型95数三考研题f(x1,x2,x3)?4x22?3x23?4x1x2?4x1x3?8x2x3,(1)写出二次型f的矩阵表达式;(2)用正交变换把二次型f化为标准型,并写出相应的正交矩阵.2.设A,B为同阶可逆矩阵,则97数三考研题(A)AB?BA;(B)存在可逆矩阵P,使P?1AP?B;(C)存在可逆矩阵C,使CTAC?B;(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ?B.3.若二次型f(x1,x2,x3)?2x2221?x2?x3?2x1x2?tx2x3是正定的,则t的取值范围是_________.97数三考研题?101?4.设矩阵A????020??,矩阵B?(kE?A)2,其中k为实数,E为单位?101??矩阵.求对角矩阵?,使B与?相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.98数三考研题5.设A为m?n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B??E?ATA,试证:当??0时,矩阵B为正定矩阵.99数三考研题6.设有n元实二次型00数三考研题f(x1,x2,?,xn)?(x1?a1x2)2?(x2?a2x3)2???(xn?1?an?1xn)2?(xn?anx1)2,其中ai(i?1,2,?,n)为实数.试问:当a1,a2,?,an满足何种条件时,二次型f(x1,x2,?,xn)为正定二次型.7.设A为n阶实对称矩阵,秩(A)?n,Aij是A?(aij)n?n中元素aij的代nnA数余子式(i,j?1,2,?,n),二次型f(x1,x2,?,xn)???iji?1j?1|A|xixj..14.(1)记x?(x1,x2,?,xn)T,把f(x1,x2,?,xn)写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的矩阵为A?1;01数三考研题(2)二次型g(x)?xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由.8.设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2?2A?O,已知A的秩r(A)?2.(1)求A的全部特征值;02数三考研题(2)当k为何值时,矩阵A?kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.9.设二次型03数三考研题f(xxTAx?ax2221,x2,x3)?1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为?12.(1)求a,b的值.(2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换的对应的正交矩阵.10.二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为________.04数三考研题11.设D???AC??B??为正定矩阵, 其中A, B分别为m阶,n阶对称矩阵, ?CT?C为m?n矩阵.?1(1)计算PTDP,其中P???Em?AC????;?OEn?(2)利用(1)的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵, 并证明你的结论.05数三考研题12.设A??12???21?,则在实数域上与A合同的矩阵为( ).?(A)??21???1?2??;(B)?2?1??(D)??1?2??12??;(C)?21???12??;????21??.08数三、四考研题.15.13.设二次型222f(x1,x2,x3)?ax1?ax2?(a?1)x3?2x1x3?2x2x3,(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;(Ⅱ)若二次型f的规范形为y2?y2,求a的值.1209数一、三考研题.16.