高二数学必修五综合测试
命题人：蔡凤敏 2014.09
认真审题 规范答题
一、选择题(每小题4分，共100分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的) 1. 在数列{an}，a2an1?1，an?1?a（n?N*），则a5=( )
n?2 A．
1 B．
2C．
1235 2 D．
3
2 . 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12， 则a8＝( )
A．0 B．3 C．8 D．11
3 . 在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和
S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )
A．24 B．48 C．60
D．84
4. 在由正数组成的等比数列{aπ
n}中，若a3a4a5＝3，则sin(log3a1＋log3a2＋?＋log3a7)的值为( )
A.13
2 B.2 C．1
D．－3
2
5. )设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于( )
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4
D．1∶3
6. (2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝( )
n[?－1?n－1]?－1?n－1A.2 B.＋1
2 C.?－1?n＋1
2
D.?－1?n－12
7. 等差数列{a2n＋1，其前n项的和为S?Sn?
n}的通项公式为an＝n，则数列??n??
的前10项的
和为( ) A．120 B．70 C．75
D．100
8. 数列113111，?，(2n－1)＋1
2，4，58，7162n，?的前n项和Sn的值等于( )
A．n2＋1－1
2n
B．2n2－n＋1－1
2n
C．n2＋1－1
2
n－1
D．n2－n＋1－1
2n 9. 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝( )
A．6n－n2 B．n2－6n＋18
??6n－n2
?12
C.?≤n≤3??n2
－6n＋18?
D.???6n－n ?1≤n≤3?
?
n>3?
??
n2
－6n ?n>3?
10. 在△ABC中，已知a=52 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )
(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 11. 在△ABC中，若a=2, b=22 , c=6 +2 ,则∠A的度数是 ( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 12. 在△ABC中，A为锐角，lgb+lg(1c)=lgsinA=－lg2, 则△ABC为
（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
13. 【2014高考辽宁卷文第9题】设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（ ）
A．d?0 B．d?0 C．a1d?0 D．a1d?0
14. ．若函数f(x)＝x＋1
x－2
(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋2 B．1＋3 C．3
D．4
1
15. ．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0则xzy2的( )
A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为1
8
D．最大值为1
8
16. (2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A.245 B.28
5
C．5 D．6 17. 若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4， 则11
a＋b的最小值为( )
A.13
4 B.2 C.2＋2 D.3
2
＋22 18. (2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2
＋1
4
)＞lg x(x＞0)
B．sin x＋1
sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.1
x2＋1
＞1(x∈R) 19. (2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a A．a D．v＝a2 20. (2013·淮北模拟)函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值是( ) A．23＋2 B．23－2 C．23 D．2 21. 设a>0，b>0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值等于( ) A．0 B．4 C．－4 D．－2 22. (2013·温州模拟)已知M是△ABC内的一点，且AB·AC＝23，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为114 2，x，y，则x＋y的最小值是( ) A．20 B．18 C．16 D．19 23. 已知平面区域D由以A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝( ) A．－2 B．－1 C．1 D．4 24. ．数列1,12,12,13,13,13,14,14,114,4，?前100项的和等于( ) A． 13914 B． 131114 C．141314 D．1414 25. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x，y满足约束条件??x＋y≥a， ?x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值 为7，则a＝( ) A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3 二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分. 把正确答案填在题中横线上. 26. 设等差数列{an项和分别为SSn2n－3 n}，{bn}的前n，Tn，若对任意自然数n都有T＝， n4n－3 则a9 b＋a3 5＋b7b8＋b的值为________． 4 27. 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________． 28. 已知A?{x|x?1x?3?0}，B?{x|x2?(a?1)x?a?0},且A?B?B，实数a的取值范围为________． 2 2 29. 已知a>0，b>0，a2＋b2 ＝1，则a 1＋b2的最大值为________． 30. 已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则16x＋4y的最小值为________． 31. 若对任意x>0，x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值范围是________． 三、解答题：本大题2题，每小题10分，共20分。 32. 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求： (1)仓库顶部面积S的最大允许值是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 33. 【2014 高考安徽卷文第 18 题】 数列{an}满足 a?1?1,nan?1?(n?1)an?n(n?1),n?N （1） 证明：数列{ann}是等差数列； （2） 设bnn?3?an，求数列{bn}的前n项和Sn 附加题： 已知函数f(x)＝x2 －5x＋4，且x，y满足约束条件??f?x?－f?y?≥0，?1≤x≤4. 则z＝2x ＋y的最大值为________． 高二数学必修五综合测试答案 一、选择题(每小题4分，共100分) 1-5ABCBC,6-10DCACD,11-15ADCCD,16-20CCCAA,21-25CBCAB 2. 解析：选B 因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12， 故公差d＝12－－ 10－3 ＝2.于是b1＝－6， 且b* n＝2n－8(n∈N)，即an＋1－an＝2n－8. 所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝?＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 3. 解析：选C 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，故T18＝a1＋?＋a10－a11－?－a18 ＝S10－(S18－S10)＝60. 4. 因为aπ3a4a5＝3π＝a34，所以a4＝33 .log3a1＋log3a2＋?＋log3a7 ＝log3(a7 1a2?a7)＝log3a4 ＝7log3π7π33＝3 ， 故sin(log3a1＋log3a2＋?＋log3a7)＝3 2 . 5. 由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S26－S3)＝S3·(S9－S6)， 将S1S936＝2S3代入得S＝. 34 6. 解析：选D 因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝ －1－?－1?n×?－1??－1?n1－?－1? ＝－1 2. 7. 解析：选C ∵S1＋an? n＝n?a2 ＝n(n＋2)， ∴Snn＝n＋2.故S1S2S10 1＋2＋?＋10 ＝75. 8. 解析：选A 该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋1 2n， 3 则S…＋(2n－1)]＋?1n＝[1＋3＋5＋?2＋122＋?＋12n??＝n2＋1－12 n. 9. 解析：选C ∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7， ∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0， ∴T?? 6n－n2?1≤n≤3?，n＝??? n2－6n＋18?n>3?. 13. 【答案】C 【解析】 2a1an试题分析：由已知得，2a1an?2a1an?1，即2a1an?1?1，2a1(an?an?1)?1，又an?an?1?d， 故2a1d?1，从而a1d?0， 14. 解析：选C f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2 ＋2， ∵x>2 ∴x－2>0 ∴f(x)≥2 x－ 1 x－2 ＋2＝4 当且仅当x－2＝1 x－2 ，即x＝3时，“＝”成立，又f(x)在x＝a处取最小值，所以a＝3. 15. 解析：选D xzxzy2＝x＋2z2＝xzx2＋4xz＋4z2 ＝1x4z≤18.当且仅xz＝4z，即x＝2z时取等号． z＋x＋4 x16. 由x＋3y＝5xy，得3＋1 xy＝5(x>0，y>0)， 则3x＋4y＝15(3x＋4y)??31?x＋y??? ＝1??13＋12y＋3x??≥1??13＋12y3x5? xy?5?2 x·?y?? ＝1 5 (13＋12)＝5. 当且仅当12yx＝3xy，即x＝2y时， ?＝1，“＝”成立，此时由??? x＝2y， ?解得? ? x＋3y＝5xy， x???y＝1 2 . 17. ：选C 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故111b?12a＋b＝1，a＋＝??2a＋b?????11?a＋b??? ＝32 ＋ba＋a2b≥32＋2，当且仅当ba＝a2b，即a＝2(2－1)，b＝2－2时取等号． 18.选C 取x＝1?21?32，则lg??x＋4?? ＝lg x，故排除A；取x＝2π，则sin x＝－1，故排除B；取 x＝0，则1 x2＋1 ＝1，故排除D. 19. 解析：选A 设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为Sa，从乙地到甲地所需时间为S，又因为a a＋abb2aba＋b>2ab2b＝a，即a ∴y＝x2＋2x2－2x＋2xx－1＝＋2x－1 ＝x2－2x＋1＋x－＋3x－1 ＝x－ 2 ＋x－＋3x－1 ＝x－1＋3x－1＋2 ≥2· x－ 3 x－1 ＋2＝23＋2， 当且仅当x－1＝3 x－1 ，即x＝1＋3时，取等号． 2 21. 解析：选C 由12 ＋1＋k≥0a＋bbaaba＋b得k≥－ab，而a＋bab＝a＋b＋2≥4(a＝b时取 4 2 2 等号)，所以－a＋bab≤－4，因此要使k≥－a＋bab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值 等于－4. 22. 解析：选B 由AB·AC＝|AB|·|AC|cos 30°＝23得|AB|·|AC|＝4，S△ABC＝1 2 |AB|·|AC|sin 30°＝1， 由112＋x＋y＝1得x＋y＝2 . 所以1x＋4y＝2??1?x＋4y???·(x＋y)＝2??? 5＋yx＋4xy??? ≥2×(5＋2×2)＝18. 23. C [解析] 平行于AB的直线过C点时有最小值，仅有点C使其取得最小值；平行于BC 的直线过A点时，z有最小值，仅有一个点A使其取得最小值；平行于AC的直线在AC上任取一点时，z都有最小值，此时m＝1，选C. 25. B [解析] 当a<0时，作出相应的可行域，可知目标函数z＝x＋ay不存在最小值． 当a≥0时，作出可行域如图，易知当－1 a＞－1，即a＞1时，目标函数在A点取得最小值．由 a－1aa－1a2 A?＋1＋a?2 ，2??，知zmin＝2＋2＝7，解得a＝3或－5(舍去)． 图2-2-5 二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分. 把正确答案填在题中横线上. 26：解析：∵{an}，{bn}为等差数列， ∴a9 a3 a9ab5＋b＋7 bb＝＋3b＝a9＋a3＝a6. 8＋42b6262b6b6 ∵S11T＝a1＋a11＝2a6＝2×11－3＝1941，∴a6b＝19 . 11b1＋b112b64×11－3641 答案：1941 27：解析：S2?1－2n?n?1＋2n－1?n＝1－2＋n＋1 2＝2－2＋n2. 答案：2n＋ 1＋n2－2 28 : （1?a?3） 29：∵a>0， 2 ∴a1＋b2 ＝a2 ＋b2 ＝ 2 a2 ??1?2＋b2??? 2 a2＋1b≤2·2＋232 2＝4 ， ?2 a2 ＝1b2＋2 ，当且仅当? ?2 时取等号． ??a2 ＋b2＝1， ?a＝3即?? 2，??b＝22 ∴a1＋b2的最大值为324 . 30：．8 [解析] 由a⊥b，得(x－1)×4＋2y＝0，即2x＋y＝2.根据基本不等式，16x＋4y≥216x·4y＝242x＋ y＝8.当且仅当2x＝y，即x＝12 ，y＝1时，等号成立． 5 11x＋3x＋11，＋∞? [解析] 方法1：由x>0，原不等式等价为0<≤ 31：.?＝x＋＋3恒?5?axx1111x＋＋3?min＝5，即0<≤5，解得a≥. 成立，所以有≤?a?x?a5 xxx111?1 方法2：问题等价于a≥?x2＋3x＋1?max，而2＝≤＝，即x2＋3x＋1?max＝， 12＋35?5???x＋3x＋1 x＋3＋x 1故a≥. 5 2 三、解答题：本大题2题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 32.【解析】[解答] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米， 则顶部面积为S＝xy 依题设，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得 3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy ＝120S＋20S， ∴S＋6S－160≤0， 即(S－10)(S＋16)≤0， 故S≤10，从而S≤100， 所以S的最大允许值是100平方米． (2)取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100， 解得x＝15，即铁栅的长是15米． 四、附加题。（本题答案不计入总分） 1.解： 22 ??x－5x－y＋5y≥0， 12 [解析] ? ?1≤x≤4，? 33.【解析】 ???x＋y－5??x－y?≥0， ∴? ?1≤x≤4，? x＋y－5≥0，x＋y－5≤0，????∴?x－y≥0，或?x－y≤0， ???1≤x≤4，?1≤x≤4，画出可行域可得z＝2x＋y在点(4,4)取得最大值． 6