泉州市2016届高三年专题适应性练习卷（函数与导数）
一、选择题
1．设函数f(x)?x(x?k)(x?2k)(x?3k)，且f?(0)?6，则k（ ） A．0 B．－1 C．3 D．－6[来源:学
2．设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图象如下右图所示,则导函数y?f?(x)可能为( )
3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(?1)?f(3)?1，f'(x)为f(x)的导函数，且导函数y?f'(x)的图象如图所示.则不等式f(x)?1的解集是 （ ） A.(?1,0) B.(?1,3) C.(0,3) D.(??,?1)?(3,??)
4．设函数f(x)?ax3?bx2?cx，若1和?1是函数f(x)的两个零点，则x1x2x1和x2是f(x)的两个极值点，等于( )
A．?1 B．1
C．? D．
1313
35D.
5
5．函数f(x)＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是( ) A.3
32
B.5 C.
2
6．若函数f(x)??2x3?ax2?1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 （A）[0,??) （B）[0,3] （C）(?3,0] （D）(?3,??) 7．已知函数f(x)?1?lnxk ，如果当x?1时，不等式f(x)?恒成立，则实数k的取值范围( ) xx?1A．k?1 B．k?1 C．k?2 D．k?3[来 8．若过点A(2，m)可作函数f(x)?x?3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围（ ） A．[?2,6] B．(?6,1) C．(?6,2) D．(?4,2)
9．已知定义在R上的函数y?f(x)满足：函数y?f(x?1)的图象关于直线x?1对称，且当
311x?(??,0),f(x)?xf'(x)?0(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立,若a?(sin)f(sin)，
221b?(ln2)f(ln2)，c?2f(log1),则a,b,c的大小关系是( ）
24A． a?b?c B．b?a?c C．c?b?a D．a?c?b 二、填空题
1＋sin2x
10．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，且f??x?＝2f?x?，f′(x)是f(x)的导函数，则2＝________.
cosx－sin 2x11．若函数y?xlnx?ax2有两个极值点,则实数a的范围是_____________． 12．已知直线y?kx?1与曲线y?lnx有公共点，则实数k的取值范围是 ． 三．解答题 13．已知函数为?1．
（1）求a的值及函数
f(x)?ex?ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y?f(x)在点A处的切线斜率
f(x)的极值；
2（2）证明：当x?0时，x?ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex． 1
14．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3．
x＋b(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 15．设函数f(x)?1?(1?a)x?x2?x3．来源:Zxxk.Com] （1） 讨论f(x)在其定义域上的单调性；
（2） 若a?0，则[当x?[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 16．已知函数f(x)?lnx?x2?ax（a为常数）． （1）若x?1是函数f(x)的一个极值点，求a的值； （2）当0?x?2时，试判断f(x)的单调性；
（3）若对任意的a?(1,2),x0?[1,2]，使不等式f(x0)?mlna恒成立，求实数m的取值范围． 17．已知函数f(x)?px?p?2lnx． x（1）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?
2e，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数p的取值范围． x18．已知函数f(x)?2a2lnx?x2(常数a?0)．
(1)求证：无论a为何正数，函数f(x)的图象恒过点A(1,?1)； (2) 当a?1时，求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程；
(3)讨论函数f(x)在区间(1,e2)上零点的个数（e为自然对数的底数）． 参考答案 一、选择题答案 BDBCBDCCC 二、填空题 10.
1111 11. (0,) 12. (??,2] .
215e三、解答题
13. 解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a． 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2， ∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2． 由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4． f（x）无极大值．
（2）证明：令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0， ∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时， 由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．
∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．
1
14.解答 (1)f′(x)＝a－，
(x＋b)2?于是?1
a－
?(2＋b)＝0，
212a＋＝3，
2＋b
?a＝1，?解得?或
?b＝－1，?
?
?8?b＝－3.
9a＝，4
1
因a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
x－1
1
(2)证明：在曲线上任取一点?x0，x0＋x－1?.
??01
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
(x0－1)21x20－x0＋1
y－＝?1－(x－1)2?(x－x0)．
??x0－10
x0＋1?x0＋1?.
令x＝1得y＝，切线与直线x＝1交点为?1，?x0－1?x0－1?令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1,2x0－1)． 直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)．
1?x0＋1?12?－1?|2x0－1－1|＝?从而所围三角形的面积为?|2x－2|＝2.
2?x0－1?2?x0－1?0所以，所围三角形的面积为定值2.
15. 解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2. 当??0时，即a???0时，即a??4时，f'(x)?0恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)为减函数 34时， 3当?－1－4＋3a
令f′(x)＝0，得x1＝，
3x2＝
－1＋4＋3a
，x1 3 所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当x －1－4＋3a???－1＋4＋3a? 故f(x)在?－∞，?和 ?，＋∞?内单调递减， 33????在? ?－1－4＋3a－1＋4＋3a?内单调递增． ?，33?? (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0， ①当a≥4时，x2≥1. 由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0 由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， －1＋4＋3a 所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值． 3又f(0)＝1，f(1)＝a， 所以当0 16. 解：f?(x)?1?2x?a． x（1）由已知得：f?(1)?0，∴1?2?a?0，∴a?3． a2a22(x?)?1?12x2?ax?148， （2）当0?a?2时，f?(x)??2x?a??xxxa22x2?ax?1因为0?a?2，所以1??0，而x?0，即f?(x)??0， 8x故f(x)在(0,??)上是增函数． （3）当a?(1, 2)时，由(2)知，f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)?1?a， 故问题等价于：对任意的a?(1, 2)，不等式1?a?mlna恒成立．即m?记g(a)?1?a恒成立 lna1?a?alna?1?a?g(a)?1?a?2，（），则， 2lnaalna令M(a)??alna?1?a，则M?(a)??lna?0 所以M(a)，所以M(a)?M(1)?0 故g?(a)?0，所以g(a)?1?a1?2??log2e 在a?(1,2)上单调递减所以m?g(2)?lnaln2即实数m的取值范围为(??,?log2e]．