17.解:⑴当p?2时，函数f(x)?2x?222?2lnx，f(1)?2?2?2ln1?0．f?(x)?2?2?， xxx曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f?(1)?2?2?2?2．
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?0?2(x?1)，即y?2x?2．
p2px2?2x?p⑵f?(x)?p?2??． 令h(x)?px2?2x?p， 2xxx要使f(x)在定义域(0,??)内是增函数，只需h(x)≥0在(0,??)内恒成立． 由题意p?0，h(x)?px2?2x?p的图象为开口向上的抛物线， 对称轴方程为x?∴h(x)min?p?1?(0,??)， p11，只需p?≥0，即p≥1时，h(x)≥0,f?(x)≥0 pp∴f(x)在(0,??)内为增函数，正实数p的取值范围是[1,??)． ⑶∵g(x)?2e在?1,e?上是减函数，∴x?e时,g(x)min?2;x?1时，g(x)max?2e， x即g(x)??2,2e?，
① 当p?0时，h(x)?px2?2x?p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1在y轴 p的左侧，且h(0)?0，所以f(x)在x??1,e?内是减函数．当p?0时，h(x)??2x，因为x??1,e?，所以h(x)?0，f?(x)??2x?0，此时，f(x)在x??1,e?内是减函数．故∴当p≤0时，f(x)在?1,e?上单x2调递减?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；
1② 当0?p?1时，由x??1,e??x?≥0，所以f(x)?x又由⑵知当p?1时，f(x)在?1,e?上是增函数， ∴x?1?1?p?x???2lnx≤x??2lnx．
x?x?111?2lnx≤e??2lne?e??2?2，不合题意； xee③ 当p≥1时，由⑵知f(x)在?1,e?上是增函数，f(1)?0?2，
又g(x)在?1,e?上是减函数，
1??故只需f(x)max?g(x)min，x??1,e?，而f(x)max?f(e)?p?e???2lne，g(x)min?2，
e??1?4e??4e?,???． 即p?e???2lne?2，解得p?2 综上所述,实数p的取值范围是?2e?e?1??e?1?
18 解：(1)∵f(1)?2a2ln1?1?0?1??1
∴无论a为何正数，函数f(x)的图象恒过点A(1,?1)． (2)当 a?1时，f(x)?2lnx?x2，
?f?(x)?2?2x. x?f?(1)?0.
又?f(1)??1，
∴曲线y?f(x)在点x?1处的切线方程为y?1?0． (3) f(x)?2a2lnx?x2，所以
2a22a2?2x2f?(x)??2x?
xx ??2(x?a)(x?a).
x因为x?0，a?0，
于是当0?x?a时，f?(x)?0，当x?a时，f?(x)?0. 所以f(x)在?0,a?上是增函数，在?a,???上是减函数. 所以，f(x)max?f(a)?a2(2lna?1). 讨论函数f(x)的零点情况如下． ①当a(2lna?1)?0，即0?a?②当a(2lna?1)?0，即a?而 1?a?e?e，
2∴f(x)在(1,e)内有一个零点；
222e时，函数f(x)无零点，在(1,e2)上也无零点；????9分
e时，函数f(x)在(0,??)内有唯一零点a，
③当a(2lna?1)?0，即a?2e时，
2由于f(1)??1?0，f(a)?a(2lna?1)?0，
f(e2)?2a2lne2?e4?4a2?e4?(2a?e2)(2a?e2)，
e2e2当2a?e?0时，即e?a?时，由单调性可知，函数f(x) 1?e?a??e2，f(e2)?0，
222在(1,a)内有唯一零点x1、在(a,e2)内有唯一零点x2满足，f(x)在(1,e2)内有两个零点；
1e2当2a?e?0时，即a??e时，f(e2)?0，而且f(e)?2a2??e?a2?e?0，
222f(1)??1?0由单调性可知，无论a?e2还是a?e2，f(x)在(1,e)内有唯一的一个零点，在
[e,e2)内没有零点，从而f(x)在(1,e2)内只有一个零点；
（注：这一类的讨论中，若没有类似“f(e)?0来说明唯一零点在(1,e)内”的这一步，则扣去这2分）
综上所述，有： 当0?a?e时，函数f(x)无零点；
e2当a?e或a?时，函数f(x)有一个零点；
2e2当e?a?时，函数f(x)有两个零点.
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