普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座36）—空间向量及其应用
一．课标要求：
（1）空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量；
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二．命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
三．要点精讲
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率 ??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b ?OP??a(??R) 第 1 页 共 10 页
????加法交换率：a?b?b?a.
??????加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c).
????数乘分配率：?(a?b)??a??b.
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
????则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。
?? 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是
??平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。
?????共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数???使b＝?a
?????注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝?a，其
?????中?是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数?，使b＝?a（a≠0），则有a∥b??????（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）。
?????⑵对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0??时与a同向，当?<0时与a反向的所有向量。
?⑶若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。
?推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
OP?OA?ta ①
其中向量a叫做直线l的方向向量。
???在l上取AB?a，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ②
当t?1时，点P是线段AB的中点，则 OP?1(OA?OB). ③ 22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
??4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平
???面内，我们就说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
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?????共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条
???件是存在实数对x、y，使p?xa?yb.①
注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使
MP?xMA?yMB,④
或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得
OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
???5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存
????在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.
???a说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、b、c不共面，那么所有空间向量所组成
????????的集合就是p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R，这个集合可看作由向量a、b、c生成
??????的，所以我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任
??意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个
?基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非
?零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.
????（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，
????则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?
6．数量积
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?a ?a?bA ?a ?a?O b?（1） a?a?aA ?a ?a?a ?aO ?a （2）
?aB
?a?b?bB
?a??????说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；
???????⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；
2⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，
图（3）中∠AOB=?OA,OB?， 图（4）中∠AOB=???AO,OB?,
从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.
?a?a?aA ?aO ?aB
（3） ?A a?aO ?a（4） B ?a（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
????????a（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量、b的数量积，记作a?b。
??????即a?b=abcos?a,b?，
?向量AB在e方向上的正射影:
B ?e A A? B? l ????a?e?|AB|cos?a,e??A?B?
（4）性质与运算率
⑴a?e?cos?a,e?。 ⑴(?a)?b??(a?b) ??????a⑵⊥b?a?b=0 ⑵a?b=b?a
⑶|a|?a?a. ⑶a?(b?c)?a?b?a?c
2????四．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
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例1．有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么
a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基
底，那么点O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量
a?b,a?b,c，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。
点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例2．下列命题正确的是（ ）
(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线； (B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面； (C)零向量没有确定的方向；
(D)若a//b，则存在唯一的实数?使得a??b；
解析：A中向量b为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证b不为零向量。
答案C。
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。 题型2：空间向量的基本运算
例3．如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，
M为A1C1与B1D1的交点。若AB?a，AD?b，
D1A1DAMB1CBC1AA1?c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）
1111?a?b?ca?b?c (A) (B)22221111?a?b?ca?b?c (C) (D)2222111?a?b?c； 解析：显然BM?BB1?B1M?(AD?AB)?AA1?222第 5 页 共 10 页