答案为A。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4．已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.
?????????????若a∥b,求x,y的值.
???????????解：?a∥b,,且a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p.
又?m,n,p不共面,????x?182y??,?x??13,y?8. 3?2?4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3：空间向量的坐标
例5．（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）
A. a：|a|=b：|b| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb （2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ） A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知； ??4?16?x2?36??4?4y?2x?0?（2）A 点拨：由题知??x?4,?x??4,???y??3或?y?1.；
（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。 例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，
第 6 页 共 10 页
（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值. b=AC，
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）.
(1)cos?=a?b|a||b|?1?0?0=
102?5?－10，
10∴a和b的夹角为－10。
(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 5则k=－2或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=k2a2－ka·b－52b2=2k2+k－10=0，解得k=－2，或k=2。
题型4：数量积
例7．(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）
b不与c垂直
④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ 答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
D.②④
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
第 7 页 共 10 页
③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；
④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立.故④真. 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。
例8．（1）（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，
?1)的夹角都等于4。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2a－b）·a=2a2－b·a=2|a|2－|a|·|b|·cos120°=2·4－2·5（－
1）=13。 22222（2）解：(1)∵|a|=|b|=1，∴x1+y1=1，∴x2=y2=1. 2??又∵a与c的夹角为4，∴a·c=|a||c|cos4=26又∵a·c=x1+y1，∴x1+y1=2。
2x12+y161?1?1=2.
222另外
6112
=(x1+y1)-2x1y1=1，∴2x1y1=(2)－1=2.∴x1y1=4。
2
(2)cos=a?b|a||b|61=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=2，x1y1=4.∴x1，y1是方程
61x2－2x+4=0的解.
????6?26?26?26?2,?x1?,,?x2?,?x1??x2?????4444????6?26?26?26?2????y1?,?y1?.y2?,?y2?.??4444????∴或同理可得或
第 8 页 共 10 页
??6?26?2,?x1?y2?,?x1?y2???44??6?26?2??x2?y1?,?x2?y1?.?44??∵a≠b，∴或
6?26?26?26?211144∴cos=·4+·4=4+4=2.
?∵0≤≤π，∴=3。
评述：本题考查向量数量积的运算法则。 题型5：空间向量的应用
例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：13a?1+13b?1+13c?1≤43。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
解析：（1）设m=(13a?1，13b?1，13c?1)，n=(1，1，1)， 则|m|=4，|n|=3. ∵m·n≤|m|·|n|，
∴m·n=13a?1+13b?1+13c?1≤|m|·|n|=43. 1当13a?1=13b?1=13c?1时，即a=b=c=3时，取“=”号。 M1M2=14。 （2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·
111点评：若m=(x，y，z)，n=(a，b，c)，则由m·n≤|m|·|n|，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a|·|b|≥a·b的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
例10．如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,BC1?AB1,BC1?A1C,求证:
AB1?A1C.
证明：?A1C?A1C1?C1C,
BC1?BC?CC1,A1C?BC1?(A1C1?C1C)?(BC?CC1)?A1C1?BC?C1C2?0,第 9 页 共 10 页
?C1C2?A1C1?BC.
同理AB1?AB?BB1,BC1?BB1?B1C1,
??AB1?BC1?AB?BC?CC?0(?BB1?CC1),?AB?BC?A1C1?BC?0,
21又A1C1?AC,?BC?(AB?AC)?0.
设D为BC中点,则AB?AC?2AD.?2BC?AD?0,?BC?AD,
?AB?AC,又A1A?B1B,?A1C?AB1.
点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。
五．思维总结
本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为?，对于中点公式要熟记。
对本讲内容的考查主要分以下三类：
1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 2．向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。
第 10 页 共 10 页