同步检测训练
一、选择题
1＋x211
1．(2009·湖北八校联考)设f(x)＝2，则f()＋f()＋f(－2)＋f(－3)＝( )
1－x23
3535A. B．－ 1212C．1 D．0 答案：D
22
11＋x－x－1
解析：f(x)＋f(－)＝2＋2＝0
x1－x1－x
1
∴f()＋f(－2)＝0
21
f()＋f(－3)＝0. 3
2．(2009·湖北华师一附中4月模拟)函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，若点A(1,2)、B(3,0)，函数g(x)＝(x－1)f(x)．则函数g(x)的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．4 答案：B
答案：C
解析：由f(x)≥0可得x≥0或x≤－1，,且x≤－1时f(x)≥1，x≥0时f(x)≥0.,又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]∪[b，＋∞)．,而f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，知g(x)≥0，故选C.
5.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，f(1)则的最小值为( ) f′(0)
5
A．3 B. 23
C．2 D.
2
[答案] C
?a>0
[解析] ∵f′(0)＝b>0，f(x)≥0恒成立得?2，∴0
?b－4ac≤0
2
a＋cf(1)a＋b＋c2ac∴＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，故选C. f′(0)bbbb
6．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
33A. cm2 B．4 cm2
2
22
C．32 cm D．23 cm 答案：D
解析：设其中一段长为3x，则另一段为12－3x，则所折成的正三角形的边长分别为x,4
33333－x，它们的面积分别为x2，(4－x)2，则它们的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝(2x2
44444
3－8x＋16)＝[(x－2)2＋4]，可见当x＝2时，两个正三角形面积之和的最小值为23 cm2.
2
故选D.
b24
1
7．在区间[1.5,3]上，函数f(x)＝x2＋bx＋c与函数g(x)＝x＋同时取到相同的最小值，x－1
则函数f(x)在区间[1.5,3]上的最大值为( )
A．8 B．6 C．5 D．4 答案：D
11
解析：g(x)＝x－1＋＋1≥2(x－1)×＋1＝3，当且仅当x＝2时，g(x)min＝3，
x－1x－1
∴f(x)＝(x－2)2＋3.
∴在区间[1.5,3]上，f(x)max＝f(3)＝4. 故选D.
log2x－1
8．(2009·南昌二调)函数f(x)＝，若f(4x1)＋f(4x2)＝1，x1>1，x2>1，则f(x1·x2)的最
log2x＋1
小值为( )
21A. B. 33C．2 D.2 答案：B
2
解析：依题意得f(x)＝1－，
log2x＋1
22
1－＋1－＝1，
log2(4x1)＋1log2(4x2)＋1
3－log2x13－log2x1
由此解得log2x2＝，log2(x2x1)＝log2x2＋log2x1＝＋log2x1＝
log2x1＋1log2x1＋1
－(log2x1＋1)＋444
＋log2x1＝－2＋＋(log2x1＋1)≥－2＋2·(log2x1＋1)＝2，
log2x1＋1log2x1＋1log2x1＋1
2211
故f(x1x2)＝1－≥1－＝，f(x1·x2)的最小值是，故选B.
log2(x1x2)＋12＋133
二、填空题
??a，a≥b，
9．设a，b∈R，记max{a，b}＝?函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最
?b，a 小值是________． 3 答案： 2 解析：如下图所示，函数y＝max{|x＋1|，|x－2|}的图象为图中实线部分，∴max{|x＋1|， 3 |x－2|}的最小值为. 2 10．规定记号“△”表示一种运算，即aΔb＝ab＋a＋b，a、b∈R＋.若1Δk＝3，则函数f(x)＝kΔx的值域是________． 答案：[1，＋∞) 解析：由题意1Δk＝k＋1＋k＝3，解得k＝1， ∴f(x)＝x＋1＋x. 而f(x)＝x＋x＋1在[0，＋∞)上递增， ∴f(x)≥1. 11．已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________． 答案：[6,13] 解析：∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]， ?1≤x≤9，? ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为? 2 ?1≤x≤9.? 解得1≤x≤3，即定义域为[1,3]． ∴0≤log3x≤1. 又y＝[f(x)]2＋f(x2) 22 ＝(2＋log3x)＋2＋log3x 2 ＝(log3x)＋6log3x＋6 2 ＝(log3x＋3)－3， ∵0≤log3x≤1，∴6≤y≤13. 故函数的值域为[6,13]． 三、解答题 12．求下列函数的值域： (1)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)； 5x－1(2)y＝； 4x＋2 (3)y＝2x－x－1. 11 13．(2009·山东烟台高三模块检测)设函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点 32 P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)． (1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式； (2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值． 解：(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b， 由已知－2、4是方程x2＋ax－b＝0的两个实数， ??－2＋4＝－a， 由韦达定理，? ?－2×4＝－b，? ∴? ?a＝－2，???b＝8， f(x)＝x2－2x－8. (2)g(x)在区间[－1,3]上是单调减函数， ∴在[－1,3]区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b≤0， 即f(x)＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立， ???f(－1)≤0，?a＋b≥1，?这只需满足即可，也即? ?f(3)≤0?b－3a≥9，?? 而a＋b可视为平面区域?点最近，∴当? ?a＝－2，???b＝3 22 ?a＋b≥1，? ??b－3a≥9 内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3)距离原 时，a2＋b2有最小值13.