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14．已知f(x)＝|1－|.
x
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(1)当x∈[，2]时，求f(x)的值域．
2
(2)是否存在实数a，b(a 1 1－，x>1或x<0， x1 解：(1)f(x)＝|1－|＝ x1 －1，0 11 当x∈[，1]时，－1∈[0,1]； 2x 11 当x∈[1,2]时，1－∈[0，]． x2 ∴f(x)的值域为[0,1]． (2)不存在．理由：假设存在实数a，b使得函数f(x)的定义域与值域都为[a，b]， 1 1－＝a， a 则当a 1 1－＝b， b ??? ??? ? 当0 1－?b＝a 11－＝b a ?a＝b，与a 1 当a<0 b2 15．(1)函数y＝lg(x＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围． (2)函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R，求a的取值范围． (3)函数y＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R，求a的取值范围． (4)函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的值域为R，求a的取值范围． 解：(1)因为函数y＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R. 即对任意x∈R，x2＋ax＋1>0恒成立， 由于二次函数f(x)＝x2＋ax＋1对应的抛物线开口向上，只需对应判别式小于零， 即a2－4<0，解得－2 本题实质为二次函数(不等式)中的恒成立问题，一般可转化为开口向上(下)的抛物线对应函数值恒大于(小于)零的问题，从判别式小于零求解． (2)注意分a＝0和a>0两种情况讨论． a＝0时，原函数为y＝lg1＝0对任意x∈R都成立； 2 a≠0时，只能a>0(否则a<0，必存在x0使ax0＋ax0＋1≤0，) ?a>0?a>0 此时须满足?，即?2，解得0 ?Δ<0?a－4a<0 综上，0≤a<4时，函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R. (3)y＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R， 则真数必可取得任意大于零的数， 2 须有x＋ax＋1存在零或负值才能满足要求， 2 否则x＋ax＋1最小值为正数t， 则真数不能取得(0，t)之间的正数，对数值不可能为R. 故只要Δ≥0，即a2－4≥0， ∴a≥2或a≤－2. 要特别注意，如仍利用x2＋ax＋1>0恒成立得出Δ<0，从而得－2 112 ，则真数不小于，从而y＝lg(x＋ax＋1)≥－1，此时值1010 1 域为[－1，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)，因为真数x2＋ax＋1取不到(0，)之间的正数． 10 ?a>0?a>0?(4)由(1)结论知，只需，即?2 ?Δ≥0?a－4a≥0这样想，不妨设(x＋ax＋1)min＝ 2 解得a≥4， 2 故当a≥4时，函数y＝lg(ax＋ax＋1)的值域为R.