的约数, 故{x1,x1,…,xn}中任意r+1个数均互素.
kk3.解：∵对n=2时,有22?c?22, ∴c>1. ∵对n=2+2kk?121kkk?1+…+2+1=2k+1－1,
有2?22???2?1?c21???11?1222k?1?1, 即
2k?1?12?12k?1?c2k?1?1,
∴c??1k?1k?1(2?1)21k?1?(2?1),令t=
12k?1, 则c?1?t1?t2?(2?1)?(2?1)1?t1?t(0?t?1)
恒成立, ∴c≥1?对m+1，设n=2k1k22,cmin=1?2. 现对m归纳证明：当m=1时, 已知成立, 假设对m成立,
km?1?22k2???2k32(k1>k2>…>km+1≥0), 则n－22k1=2k12k2?2?2k3???2km?1,
km?1由归纳假设得：2k1?2???2k1?(1?k122)n?22)k1k22km?1, ∴2k1???22?22?(1?k12)n?22)n?2, 现证：2?(1?n?22)(2)2k1?1k2?(1?2)kn
k12 22?(1?k1?(1?2)n?(1?k1n?n?21)?2?
21(1?n?∵2k1k2k2)k1k1?22?22k12(1??n?2?2k2???2km?1?2k3???2k1km?1?1①.
?22k2???2k3k1km?1?2km?1k1?2k2k1?1???2?1?2k2?1k1?1,
k2?1?2???222?2?2????2?1?22)2k1?1?2?1, 所以
2.
① 左端?(1?2)2k122(1??2k1?1?1??12k1?1?1, ② 即对m+1成立.故cmin=1?
4. 解：设给定集合为A1, A2,…,A2010, 则有|Ai|=44(1≤i≤2010), |Ai∩Aj|=1(1≤i 只要求|Ai1∩Ai2∩…∩Aik|(1≤i1 由|Ai∩Aj|=1知|Ai1∩Ai2∩…∩Aik|≤1,若都等于1, 则必有一个元是所有集合的公共元素. 下面证明|Ai1∩Ai2∩…∩Aik|(1≤i1 2010 对于A1,因它与其它2009个集合都有公共元, 且|A1|=44, []＝45, 44 若A1中每个元素至多属于其它45个集合, 则A1至多与44×45=1980个集合有公共元素. 矛盾! 可见, A1中必有一个元a至少属于其它46个集合,设a∈A2,…,A47, 而B是A48,…,A2010中任意一个集合,若a?B, 因B与A1,…,A47中每一个都有公共元素,则这些公共元素两两不同(因若B与Ai, Aj(1≤i =2010×44－C2010?C2010???C2010 =2010×44?C2010?C2010?(C2010?C2010?C2010?C2010???C2010)=86431. 2012模拟卷（2） 第 6 页 共 6页 012320102010