平均值为496（m/s）,标准差1.20（m/s）。两个总体都近似服从正态分布，且方差相等。求两个总体均值差的置信水平为0.95的置信区间。
解：t=tinv(0.975,28);
s=sqrt((9*1.10^2+19*1.20^2)/28); d1=(500-496)-t*s*sqrt(1/10+1/20) d2=(500-496)+t*s*sqrt(1/10+1/20) 结果：d1 =3.0727
d2 = 4.9273
五、单个正态总体均值、方差的假设检验
表3-3单个正态总体均值和方差的假设检验
参数 检验法 ?2H0 H1 检验统计量 拒绝域 μ ???0 ?≤?0 ?≥?0 ?≠?0 ?>?0 ?t1?a2t 检 验 ???0 ?≤?0 ?≥?0 ?2??02 2?≠?0 ?>?0 ?
1. 单个正态总体方差已知时的均值μ的假设检验(Z检验法)
MATLAB 软件提供的已知方差的单正态总体均值的Z—检验函数为ztest, 常用的使用格式有下面几种形式:
·[h,sig]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) ·h=ztest(x,m,sigma) ·h=ztest(x,m,sigma,alpha)
·[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)
命令：[h,sig,ci]＝ztest(x,m,sigma,alpha,tail)，表示通过tail指定值控制可选择假设的类型, 以显著性水平为alpha检验, 标准差为sigma的正态分布样本x的均值是否为m. 返回值h＝l 表示在显著性水平为alpha时拒绝原假设; h＝0表示在显著水平为alpha时不拒绝原假设. 返回值sig为假设成立的概率. ci 返回置信度为100(1-alpha)%的真实均值的置信区间. 在说明了这个命令的功能后, 另外命令的功能读者完全可以参照理解。
命令中的 a1pha是可选项, 它的缺省值为0.05, tail也是可选项, 它的缺省值为 0, 即原假设:
若
tail=0, 表示备择假设: tail=1, 表示备择假设: tail=-1, 表示备择假设:
(默认, 双边检验); (右边检验); (左边检验).
.
例8. 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0.5kg, 标准差为0.015kg. 某日开工后检验包装机是否正常, 随机地抽取所包装的糖9袋, 称得净重 (单位:kg) 为
0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512. 取显著性水平为0.05, 问机器此时工作是否正常?
解：总体μ和σ已知, 该问题是当为已知时, 在水平还是原假设:
在命令窗口中输入:
X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512]; [h,sig,ci]=ztest(X, 0.5, 0.015, 0.05,0) 回车后显示:
h =
1
2
0.05下, 根据样本值判断
. 为此提出假设:
，备择假设:
.
sig =
0.0248; %样本观察值的概率. ci =
0.5014 0.5210; %表示置信区间, 均值0.5在此区间之外.
结果表明: h=1, 说明在水平
0.05下, 可拒绝原假设, 即认为包装机工作此时不正常.
也可以利用sig和ci数值看, 见例9-1. 注意: 如果利用样本数据得到接受原假设, 我们还得检验标准差是否可以认为是小于 0.015, 若检验可以接受标准差小于0.015, 才可以认为“包装机工作此时正常”.
2. 单个正态总体方差未知时的均值μ的假设检验 (t检验法)
MATLAB软件提供的单正态总体的均值t检验的函数为ttest, 常用的使用格式有下面几种形式:
·[h, sig]=ttest(x, m, alpha, tail) ·h=ttest(x, m) ·h=ttest(x, m, alphal)
·[h, sig, ci]=ttest(x, m, alpha, tail)
命令[h, sig, ci]=ttest(x, m, alpha, tail)表示在给定显著水平为alpha的基础上进行t假设检验, 检验正态分布样本x的均值是否为给出的m, m的缺省值是0. 返回的h值等于1表示在显著水平为alpha时拒绝原假设; 返回的h值等于0表示在显著水平为alpha时不拒绝原假设. 返回的 sig 表示在x的均值等于m的原假设下较大或者统计意义下较大的概率值.ci 返回一个置信度为 100(1-alpha)％的均值的置信区间.
命令中的a1pha是可选项, 它的缺省值为0.05, tail 也是可选项, 它的缺省值为0. 即原假设:
若
tail=0, 表示备择假设: tail=1, 表示备择假设: tail=-1, 表示备择假设:
(默认, 双边检验); (右边检验); (左边检验).
均未知. 现测得16只元
.
例9. 某种电子元件的寿命X(单位: 小时)服从正态分布, , 件的寿命如下：
159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264, 222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170. 取显著性水平为0.05, 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225 小时?
解：未知, 在水平在命令窗口中输入:
2
0.05下检验假设: , .
X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; [h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1) 回车后显示:
h =
0 sig =
0.2570 ci =
198.2321 Inf %均值 225 在该置信区间(即接受域)内.
结果表明: H=0 表示在水平
0.05下应该接受原假设, 即认为元件的平均寿命不大于
225小时; 或者从sig=0.2570远大于0.05分析,也接受原假设; 或者从置信区间(即接受域) (198.2321, +∞)包含假设关系值
分析, 也接受原假设.
3. 两个正态总体均值差的检验(t检验) 基本数学原理: 两个正态总体方差相等,即检验的拒绝域
, 但为未知时的均值差的假设
t=x?y???t?(n1?n2?2) 1?112sw?n1n2，
其中，
MATLAB软件提供的双样本均值t检验的函数为ttest2, 常用的使用格式有下面几种形式:
·[h, sig, ci]=ttest2(x, y, alpha,tail) ·[h, sig, ci]=ttest2(x, y, alpha) ·[h, sig, ci]=ttest2(x, y)
命令[h, sig, ci]=ttest2(x, y, alpha, tail)表示在tail指定可选择假设类型, 显著水平为alpha的情况下, 对两个正态分布样本x和y是否具有相同的均值进行t 检验; 返回值h＝l表示在显著水平为alpha时拒绝原假设, 返回值h＝0表示在显著水平为alpha时不拒绝原假设; 返回值ci表示置信度为100(1-alpha)%的均值真实差的置信区间; 返回值sig为样本x的均值等于样本y的均值的原假设下较大或者统计意义下较大的概率值.
命令中的a1pha是可选项, 它的缺省值为0.05; tail也是可选项, 它的缺省值为0, 即原假设:
, (
为总体X为期望值,
为总体Y的期望值).
2
若 tail=0, 表示备择假设:
tail=1, 表示备择假设: tail=-1, 表示备择假设:
(默认, 双边检验); (单边检验); (单边检验).
六、单个正态总体对方差的检验（没直接函数）
例10. 某钢绳厂生产一种专用钢绳，已知其折断力(单位:千克) X~N(?,?2),?为未知参数,
?2为待验参数, ?02=16是?2的标准值。今抽查其中10根,测得其折断力为
289 286 285 284 286 285 285 286 298 292
试问这批钢绳折断力的波动性有无显著变化?显著性水平?=0.05.
解：建立如下的M-文件(并保存为fun1.m) alpha=0.05;%给定的显著性水平 sigma2=16;%已知的方差标准值
X=[289 286 285 284 286 285 285 286 298 292];%样本数据 n=length(X);%计算样本容量 sigma=var(X);%计算样本方差
chi2=(n-1)*sigma/sigma2%计算并显示卡方统计量观测值
lambda1=chi2inv(alpha/2,n-1);%计算给定水平下卡方统计的临界值 lambda2=chi2inv(1-alpha/2,n-1);
lambda=[lambda1,lambda2]%给出双边检验的接受域 运行后结果显示为chi2=10.6500 lambda=2.7004，19.0228
结果表明：统计量观测值处于接受域之中，接受原假设。即认为这批钢绳折断力
的波动性没有显著变化。 六、实验结果
例11. 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的技术革新建议是否会增加钢的产率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同. 先用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼10炉. 其产率分别为
(1) 标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3,77.4, 78.4,76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2) 新方法: 79.1, 81.0,77.3, 79.1,80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1. 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体显著性水平=0.05, 问建议的新操作方法能否提高产率?
2
和, ，，均未知. 取