数学建模作业
离散的Logistic方程
(人口的周期性变化问题)
0407139
仝虎
2005.4.22
摘要
人口问题是当今世界最引人注目问题之一.
本文在人口增长的Malthus模型和Logistic连续模型的基础上,建立了离散的Logistic方程,分析并模拟了某地区的人口数周期性变化的规律.
为了建立离散的Logistic方程分析并模拟某地区的人口数周期性变化的规律,文章首先简单的回顾了一下人口增长的Malthus模型和Logistic连续模型,然后建立起离散的Logistic方程,利用Matlab工具模拟了某地区的人口周期性变化规律,并进一步讨论了各项参数的变化对周期的影响.
一． 理论前提
关于人口问题的研究理论和模型很多,本节简单回顾一下常用的两个关于人口增长的模型: Malthus模型和Logistic模型. 1. Malthus模型
影响人口增长的因素很多:人口的底数,出生率,死亡率,男女比例,年龄结构,生产水平,天灾人祸等.为了简化问题,Malthus模型中仅考虑主要因素:增长率.
人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为了方便理论研究,建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差十分微小.
设t时刻人口总数为y(t),人口增长率为[r(t,y(t))],则[t,t?t]内人口总数y(t)的增量
y?y(t?t)?y(t)?r(t,y(t))y(t)t
两边同初以t,并令t?0,得
dy?r(t,y(t))y(t) dtMalthus在分析人口出生和死亡情况的资料后发现,人口净增长率a基本上是一个常数(r=b-d,b为出生率,d为死亡率),即: r(t,y)?r0 Malthus模型如下:
?dy??r0y(t) ?dt??y(t0)?y0解得:
y(t)?y0er0(t?t0)
假设某地区的人口增长服从Malthus模型，人口增长率r0=0.3, 设1970年该地区
人口为3万，即：t0=1970,y0=3,则相应的人口增长曲线如下图所示：
y(t)?3e0.3(t?1970)
2
在某一时期内，人口数量的增长很符合Malthus模型。但是，考虑到自然资源和环境条件的限制，Malthus模型有待于修改。 2. Logistic模型.
荷兰生物学家Verhult提出，引入一个常数Nm，表示在自然资源和环境条件下所能容纳的最大人口总数（环境容纳量），并且认为人口增长率随人口总数y(t)的增加而减少，即：
r?r0(1?y(t)) Nm当t??时，y(t)?Nm，从而r?0。 按此假设，可以得到人口增长的Logistic模型：
y(t)?dy?r(1?)y(t)0?Nm ?dt?y(t0)?y0?其中r0是常数，与环境无关。
解得：
3
y(t)?NmN1?(m?1)e[?r0(t?t0)]y0
显然，当t??时，y(t)?Nm。
假设某地区的人口增长服从Logistic模型，人口增长率r0=0.3。
1. 对于y0>Nm的情况。设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3；环境容纳量Nm=30，则相应的人口增长曲线如下图所示：
y(t)?30301?(?1)e[?0.3(t?1970)]3
2. 对于y0 y(t)?30301?(?1)e[?0.3(t?1970)]50 4 3.建立离散的Logistic方程 为了使Logistic曲线在计算机中模拟实现，以更直观、更深入分析问题，下面将Logistic模型用离散形式的方程表示出来。 结合连续型的Logistic模型，经分析可知： ?y(t)?y(t?t)?y(t)??r0(1?)?y(t)t Nm??不妨令t=1,则有： ?y(t)?y(t?1)?y(t)??r0(1?)?y(t) Nm??初始条件：y(t0)?y0 从而得到离散的Logistic模型： y(t0)?y0?? ?y(t)???y(t?1)?y(t)??r0(1?N)?y(t)m???同样：假设某地区的人口增长服从Logistic模型，人口增长率r0=0.3。设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3；环境容纳量Nm=30，则相应的人口增长曲线如下图所示： 5