y(1970)?3?? y(t)????y(t?1)?y(t)??0.3*(1?30)?y(t)???
二． 问题提出
设某地人口数量的变化服从Logistic规律，在正常情况下净增长率为r1，环境容许的极限人口数为N1，设当人口数量增加到P1（P1〈N1）时瘟疫流行，是净增长率降为r2，极限人口数量降为N2（N2〈P1），于是人口数量开始下降，当降至P2（P2>N2）时，瘟疫停止，恢复正常。
试建立这种情况下人口数量的模型，并讨论瘟疫影响下人口数量的周期性变化，以及周期与哪些因素有关。
三．问题分析
1.显然，初始时刻该地区的人口数量y(t0), 必然小于环境容纳量N1. 2.人口数量呈周期性变化，设周期为T.
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3.初始时刻t0到第一个峰值y(t1)=P1应该分离出来单独考虑。 4.当t>t1时，考虑整个过程的周期性变化。 经分析可知，每一个周期都包含两个阶段：
(1)初始值y(t1)=P1大于环境容纳量N2的阶段，人口数量按Logistic曲线减少，终止值y(t2)=P2。
(2)初始值y(t2)=P2小于环境容纳量N1的阶段，人口数量按Logistic曲线增加，终止值y(t3)=P1。
两个阶段交替进行，形成整个过程的周期性变化，周期T=t3?t1.
四．模型建立与曲线模拟
根据上述分析，利用离散的Logistic方程，可以建立该地区的人口周期性变化的数学模型： (1)当t?[t0,t1]时，
??y(t)?)?y(t)?y(t?1)?y(t)??r1(1? N??1??y(t0)?y0,y(t1)?P1?(2)当t?[t1?nT,t2?nT]时，
??y(t)?y(t?1)?y(t)?r(1?)?y(t)??2N2???? ?y(t1?nT)?P1,y(t2?nT)?P2?n?0,1,2,...???(3)当t?[t2?nT,t3?nT]时，
??y(t)?y(t?1)?y(t)?r(1?)?y(t)??1N?1????y(t2?nT)?P2,y(t3?nT)?P1 ?n?0,1,2,...??? 7
注意：周期T=t3?t1，初始值y0?(0,P2)，实际限制量[P2,P1]?[N2,N1]。
为了便于在计算机中模拟数据实现，假设1970年该地区人口为3万， 即：t0=1970,y0=3;
人口净增长率r1=0.3,r2=0.08; 环境容纳量N1=30万,N2=20万; 实际数量限制P1=28万,P2=23万; 则该地区的人口变化曲线如下图所示：
程序参见[附录：程序段1—my_logistic1.m]
由模拟曲线可以看出，该地区的人口数量随着时间的推移呈明显的周期性变化，人口数量的取值范围[P2,P，为了进一步分析各项参数对人口变化周1]?[N2,N1]：期T的影响，需要改变参数来观察曲线的变化情况。
五．问题的进一步探讨
在Matlab中进一步编程，以实现各项参数的输入，便于分析各参数的变化对周期T的影响。
取各参数的参照值：t0=1970,y0=3； 人口净增长率r1=0.3，r2=0.08；
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环境容纳量N1=30万，N2=20万； 实际数量限制P1=28万，P2=23万；
下面以上述参数的取值为参照值逐一改变各参量观察周期的变化情况，具体程序参见[附录：程序段2—diagram1.m] 1.初始值y0?(0,P2)
初始值y0的变化对周期T无影响，只是提前或推迟疫情发生的时间而已。 对比图例[y0=3与y0=12]： 结果：[T=15与T=15]
2.实际限制数量[P2,P1]?[N2,N1] (1)[P2,P1](2)[P2,P1]时，T时，T
对比图例[P2,P1]=[23,28]与[P2,P1]=[21,28]： 结果：[T=15与T=28]
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3.环境容纳量[N2,N1] (1) [N2,N1](2) [N2,N1]图略。
4．净增长率r (1)r1(2)r2时,T时,T
;r1;r2时,T时,T
时，T时，T
对比图例[r2=0.08与r2=0.04]： 结果：[T=15与T=25]
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